Successione per ricorrenza

[ayeyye]

ho qst esercizio esprimere in funzione di n e t il termine n-esimo della successione per ricorrenza:

$x_0=1$

$x_(n+1)=u_0+2int_0^tx_n(s)ds$

[Lord K]

Sappiamo che la successione converge al termine:

$x(t) = e^(2t)-1$

La successione:

$x_(n+1)=1+2*int_0^tx_nds$

Scriviamolo come:

$x_(n+1)=1+2*T(x_n)$

con $T$ funzione lineare, allora:

$x_1 = 1+2*T(1)$
$x_2 = 1+2*T(1+2*T(1)) = 1+2*T(1)+4*T^2(1)$
$x_3 = 1+2*T(1+2*T(1)+4*T(1)) = 1+2*T(1)+4*T^2(1)+8*T^3(1)$

eccetera, allora:

$x_n = sum_(k=0)^(n) 2^k*T^k(1)$

[ayeyye]

grazie mille!

con $T^2(1)$ intendi $T(T(1))$?

se dovessi dimostrare qst cosa ufficialmente, in un esame insomma dovrei anche fare la dimostrazione per induzione così:

$x_n=sum_i2^iT^i(1)=>x_(n+1)=x_n+2^(n+1)*T^(n+1(1))$

oppure basta fare come hai scritto tu?

[Lord K]

"ayeyye":grazie mille!

con $T^2(1)$ intendi $T(T(1))$?

Esattamente!

se dovessi dimostrare qst cosa ufficialmente, in un esame insomma dovrei anche fare la dimostrazione per induzione così:

$x_n=sum_i2^iT^i(1)=>x_(n+1)=x_n+2^(n+1)*T^(n+1(1))$

oppure basta fare come hai scritto tu?

Il mio è un modo intuitivo, ma sufficiente e comunque equivalente al tuo.

Osserva che la formula diventa generale se:

$x_(n+1)=u_0+v_0*int_0^tx_nds$
$x_0 = c$

abbiamo:

$x_n=u_0*sum_(i=0)^(n-1) v_0^i*T^i(u_0) + k^n*T^n(c)$

[ayeyye]

ok, grazie per l'aiuto!

molto bella qst parte della matematica! mi sto divertendo a studiarla!

[Lord K]

Diciamo che è legata ad un bel teorema dalla potenza inaudita che determina l'esistenza delle soluzioni delle equazioni differenziali, ovvero il teorema di Picard-Lindelof.