Successione per riccorenza non definita quando?
Studiando la sucessione per ricorrenza:
$a_(n+1)=(a_n+21)/(11-a_n)$
$a_0=\alpha$
Ho studiato la funzione associata $f(x)=(x+21)/(11-x)$ e poi ho studiato come si comporta rispetto a $y=x$, facendo $f(x)=x$.
Ho trovato che la funzione f(x) sta sotto x tra 3 e 7, ha un asintoto a verticale a 11, è una funzione monotona crescente, tende a -1 più a meno infinito e a -1 meno a più infinito, all'asintoto x=11 tende a infinito più da sinistra e a meno infinito da destra.
Ammesso che quello che ho trovato sia corretto, la mia domanda è questa, tra 7 e 11 la successione che comportamento assume? Studiandola sul grafico, e facendo verticale alla funzione, orizzontale alla bisetrice, questa subito sorpassa l'asintoto verticale in -11, e poi ritornerebbe di nuovo alla sinistra dell'asintoto per tendere a 3. Questo è un comportamento lecito o bisogna dire che per $\alpha$ compreso tra 7 e 11 la successione non è definita, poichè supera l'asintoto? Dopo $\alpha=11$ la successione non è più definita o cosa?
Grazie in anticipo per il vostro aiuto.
$a_(n+1)=(a_n+21)/(11-a_n)$
$a_0=\alpha$
Ho studiato la funzione associata $f(x)=(x+21)/(11-x)$ e poi ho studiato come si comporta rispetto a $y=x$, facendo $f(x)=x$.
Ho trovato che la funzione f(x) sta sotto x tra 3 e 7, ha un asintoto a verticale a 11, è una funzione monotona crescente, tende a -1 più a meno infinito e a -1 meno a più infinito, all'asintoto x=11 tende a infinito più da sinistra e a meno infinito da destra.
Ammesso che quello che ho trovato sia corretto, la mia domanda è questa, tra 7 e 11 la successione che comportamento assume? Studiandola sul grafico, e facendo verticale alla funzione, orizzontale alla bisetrice, questa subito sorpassa l'asintoto verticale in -11, e poi ritornerebbe di nuovo alla sinistra dell'asintoto per tendere a 3. Questo è un comportamento lecito o bisogna dire che per $\alpha$ compreso tra 7 e 11 la successione non è definita, poichè supera l'asintoto? Dopo $\alpha=11$ la successione non è più definita o cosa?
Grazie in anticipo per il vostro aiuto.
Risposte
I punti fissi di $f$ hanno ascisse $3$ e $7$; da un esame grafico sembra evidente che se $\alpha \in (7,11)$ allora $a_n$ diverge a $+\infty$, se $\alpha\in (-\infty,7)$ allora $a_n$ converge a $3$, e se $\alpha=7$ allora $a_n$ converge a $7$ (è $7$ per ogni $n$). Infine per $\alpha>11$ la successione torna a convergere a $3$.
"nitai108":
Studiando la sucessione per ricorrenza:
$a_(n+1)=(a_n+21)/(11-a_n)$
$a_0=\alpha$
Ho studiato la funzione associata $f(x)=(x+21)/(11-x)$ e poi ho studiato come si comporta rispetto a $y=x$, facendo $f(x)=x$.
Ho trovato che la funzione f(x) sta sotto x tra 3 e 7, ha un asintoto a verticale a 11, è una funzione monotona crescente, tende a -1 più a meno infinito e a -1 meno a più infinito, all'asintoto x=11 tende a infinito più da sinistra e a meno infinito da destra.
Guarda che $f(x)$ sta sotto x anche dopo 11.
Ti ricordo che se hai infatti una disequazione, non puoi moltiplicare per il denominatore (in questo caso 11-x) se non sai che è positivo, ma devi fare lo studio del segno.
"Luca.Lussardi":
I punti fissi di $f$ hanno ascisse $3$ e $7$; da un esame grafico sembra evidente che se $\alpha \in (7,11)$ allora $a_n$ diverge a $+\infty$, se $\alpha\in (-\infty,7)$ allora $a_n$ converge a $3$, e se $\alpha=7$ allora $a_n$ converge a $7$ (è $7$ per ogni $n$). Infine per $\alpha>11$ la successione torna a convergere a $3$.
Ti ringrazio molto per la risposta, per cui i valori di $\alpha$ per cui la successione non è definita è solo 11, giusto?
"misanino":
Guarda che $f(x)$ sta sotto x anche dopo 11.
Questo mi sono scordato di scriverlo ma mi risultava dal grafico, dato che è monotona crescente e che a 11 tende a meno infinito e a più infinito tende a -1, è per forza sotto x, comunque grazie della precisazione.
"nitai108":
[quote="Luca.Lussardi"]I punti fissi di $f$ hanno ascisse $3$ e $7$; da un esame grafico sembra evidente che se $\alpha \in (7,11)$ allora $a_n$ diverge a $+\infty$, se $\alpha\in (-\infty,7)$ allora $a_n$ converge a $3$, e se $\alpha=7$ allora $a_n$ converge a $7$ (è $7$ per ogni $n$). Infine per $\alpha>11$ la successione torna a convergere a $3$.
Ti ringrazio molto per la risposta, per cui i valori di $\alpha$ per cui la successione non è definita è solo 11, giusto?
[/quote]
No. Non è solo 11!
E' tutta una serie di valori compresi fra 7 e 11 che si avvicina asintoticamente a 7.
Non puoi esplicitarli tutti.
Puoi solo dire ciò che ho detto io:
sono infiniti, sono tutti tra 7 e 11, e si avvicinano all'infinito a 7.
No, non è corretto. L'unico valore di $\alpha$ per cui la successione non è definita è $\alpha=11$; per $\alpha \in (7,11)$ la successione diverge, non tende a $7$.
"Luca.Lussardi":
No, non è corretto. L'unico valore di $\alpha$ per cui la successione non è definita è $\alpha=11$; per $\alpha \in (7,11)$ la successione diverge, non tende a $7$.
Non è vero che l'unico valore per cui la successione non è definita è $alpha=11$.
Infatti questo è l'unico valore per cui non è definita $a_1$.
Ma si devono considerare anche tutti gli altri $a_n$ e quindi la cosa cambia.
Ad esempio se prendi $alpha=25/3$ allora $a_1=(25/3+21)/(11-25/3)=(25+63)/(33-25)=88/8=11$
E quindi $a_2$ non è più definito!
Perciò $a_n$ non è definita neanche per $alpha=25/3$ e così anche per infiniti altri valori compresi fra 7 e 11 e che tendono ad accumularsi in 7
"misanino":
[quote="Luca.Lussardi"]No, non è corretto. L'unico valore di $\alpha$ per cui la successione non è definita è $\alpha=11$; per $\alpha \in (7,11)$ la successione diverge, non tende a $7$.
Non è vero che l'unico valore per cui la successione non è definita è $alpha=11$.
Infatti questo è l'unico valore per cui non è definita $a_1$.
Ma si devono considerare anche tutti gli altri $a_n$ e quindi la cosa cambia.
Ad esempio se prendi $alpha=25/3$ allora $a_1=(25/3+21)/(11-25/3)=(25+63)/(33-25)=88/8=11$
E quindi $a_2$ non è più definito!
Perciò $a_n$ non è definita neanche per $alpha=25/3$ e così anche per infiniti altri valori compresi fra 7 e 11 e che tendono ad accumularsi in 7[/quote]
Ma quindi a che conclusione si giunge? Ad esempio per $\alpha=10$, che è compreso tra 7 e 11, la successione tende di nuovo a 3, e così per tanti altri valori, che non divergono, ma vanno tutti a 3 (dopo aver passato per un valore negativo tornano a sinistra e vanno a 3).
Mi sembra di capire che la successione non diverge mai (punto interrogativo, da dimostrare), però tra 7 e 11 come si fanno a determinare per quali valori di $\alpha$ converge e per quali la successione non è definita?
Ok, ho scoperto che il valore $\alpha = 25/3$ è una singolarità, poichè è quel valore dove l'asintoto x=11 e la retta y=x si incontrano, basta risolvere f(x)=11 e si trova, ed è l'unico valore per cui la successione diventa non definita per il problema del 11 al denominatore, per il resto tutto va a finire a 3.
Facendo un riassunto, per $\alpha=R-[7,11, 25/3]$ la successione per ricorrenza converge al valore 3, in 7 converge in 7, ed in 11 e 25/3 non è definita. Se qualcuno ha prove contrarie a questa conclusione le scriva per favore, grazie.
Facendo un riassunto, per $\alpha=R-[7,11, 25/3]$ la successione per ricorrenza converge al valore 3, in 7 converge in 7, ed in 11 e 25/3 non è definita. Se qualcuno ha prove contrarie a questa conclusione le scriva per favore, grazie.
"nitai108":
Ok, ho scoperto che il valore $\alpha = 25/3$ è una singolarità, poichè è quel valore dove l'asintoto x=11 e la retta y=x si incontrano, basta risolvere f(x)=11 e si trova, ed è l'unico valore per cui la successione diventa non definita per il problema del 11 al denominatore, per il resto tutto va a finire a 3.
Facendo un riassunto, per $\alpha=R-[7,11, 25/3]$ la successione per ricorrenza converge al valore 3, in 7 converge in 7, ed in 11 e 25/3 non è definita. Se qualcuno ha prove contrarie a questa conclusione le scriva per favore, grazie.
Mi ripeto per l'ennesima volta.
I punti in cui la successione non è definita sono infiniti!!!
Non puoi determinarli tutti.
Certo non è il 7 come hai detto tu, in cui converge.
Sono invece: $11, 25/3, .......$ e altri infiniti punti che si concentrano tra $7$ e $25/3$ e che tendono ad avvicinarsi sempre di più a 7 (senza mai raggiungerlo però ovviamente)
"misanino":
Sono invece: $11, 25/3, .......$ e altri infiniti punti che si concentrano tra $7$ e $25/3$ e che tendono ad avvicinarsi sempre di più a 7 (senza mai raggiungerlo però ovviamente)
Ok, però mi dai una base matematica per confermare quello che stai dicendo? E' la tecnica che è utile non il risultato.
Comunque non ho capito quali sono questi punti, e altri punti simili a 25/3 non riesco a trovarli, 25/3 ha una chiara spiegazione del perchè la successione non è definita.
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