Successione non regolare sin(n)

[bigio92]

Come faccio a dimostrare che non esiste il limite della successione sin(n) prendendo due sue estratte convergenti, o meglio chi devono essere tali estratte?

[Noisemaker]

cominica con prendere due sottosuccessioni di $a_n$.... ad esempio

\begin{align*}
b_n=\frac{\pi}{2}+2k\pi\quad\text{e}\quad c_n=\frac{3\pi}{2}+2k\pi,\quad k\in\mathbb{N}
\end{align*}

e poi calcola i limiti

\begin{align*}
\lim_{n \to \infty} b_n \quad\text{e}\quad \lim_{n \to \infty} c_n
\end{align*}

e se vengono diversi, allora il limite di $\sin a_n$ non può esistere per il teorema dell'unicità del limite

[Seneca1]

@Noisemaker: Attenzione. Quelle non mi sembrano affatto sottosuccessioni di $sin(n)$.

[PZf]

Le idee utilizzate nel mio primo post qui ti possono venire in aiuto se riadattate opportunamente.

[Noisemaker]

Si è vero ... ho scritto a muzzo.

bisogna utilizzare il fatto che esistono due successioni $n_k, m_k,$ con $n_k$ strettamente crescente per cui,

\begin{align*} \lim_{k \to \infty} (n_k -Cm_k) =0, \quad C>0\end{align*}

e poi utilizzando $C=\frac{\pi}{2}$ si dimostra che esiste una sottosuccessione di $\sin n$ che converge a $1$, e ponendo $C=\frac{3\pi}{2}$ che esiste una sottosuccessione di $\sin n$ che convege a $-1$

[gugo82]

@ bigio92: La questione che sollevi è elementare, ma non immediata.
Si può provare, infatti, che l'immagine della successione, cioè l'insieme \(\{ \sin n,\ n\in\mathbb{N}\}\), è addirittura denso in \([-1,1]\), ossia che:
\[
\forall \alpha \in [-1,1],\ \forall \varepsilon >0,\ \exists n\in \mathbb{N}:\quad |\sin n -\alpha|<\varepsilon\; .
\]

Per fare ciò, dovresti innanzitutto provare che:
\[
\forall x\in \mathbb{R},\ \forall \varepsilon >0,\ \exists n\in \mathbb{N},\ m\in \mathbb{Z}:\quad |n+2m\pi -x|<\varepsilon\; .
\]
Fatto ciò, scelto \(\alpha \in [-1,1]\) e detto \(x\in [0,+\infty[\) un numero tale che \(\sin x=\alpha\), per fissato \(\varepsilon >0\) esistono \(n\in \mathbb{N}\) ed \(m\in \mathbb{Z}\) tali che \(|n+2m\pi -x|<\varepsilon\); ma allora hai:
\[
\begin{split}
|\sin n -\alpha| &= |\sin n - \sin x|\\
&= |\sin n - \sin (x-2m\pi)|\\
&\leq |n-(x-2m\pi)| &\quad \text{(ricorda che } |\sin t-\sin \tau|\leq |t-\tau| \text{ per ogni } t,\tau \in \mathbb{R}\text{)}\\
&= |n+2m\pi-x|\\
&<\varepsilon
\end{split}
\]
che è quanto volevi.

Ora, dal fatto che \(\{\sin n,\ n\in \mathbb{N}\}\) è denso in \([-1,1]\) trai immediatamente che la successione di termine generale \(\sin n\) non ha limite: infatti, se per assurdo essa avesse limite \(l\), la sua immagine \(\{\sin n,\ n\in \mathbb{N}\}\) dovrebbe avere un unico punto di accumulazione in \([-1,1]\) (cioè proprio \(l\)); ma ciò è assurdo in quanto ogni punto di \([-1,1]\) è di accumulazione per tale insieme.

Maggiori dettagli sugli step intermedi li trovi qui.