Successione monotona e non limitata

[DeSkyno18]

Salve a tutti, ho un dubbio nato durante lo studio del teorema di successioni monotone.
Una successione monotona è regolare (quindi converge o diverge), inoltre se la successione è anche limitata allora convergerà sicuramente.
Nello studio della dimostrazione del teorema, mi è sorto un dubbio: se la successione è monotona e non limitata si può dedurre a priori che essa diverge, oppure bisogna studiarla maggiormente?

[Mephlip]

Ciao! Il teorema delle successioni monotòne non dice solamente che una successione monotòna è convergente, dice anche chi è il suo limite. Riesci a concludere?

[DeSkyno18]

Il suo limite è l'estremo superiore (o inferiore in base al segno). Quindi nel caso in cui non è limitata il suo estremo è infinito e di conseguenza è divergente?

[Mephlip]

"DeSkyno18":Il suo limite è l'estremo superiore (o inferiore in base al segno)

Non in base al segno, in base alla monotonia. Se è monotòna crescente, il suo limite è $\text{sup}_{n\in\mathbb{N}} \{a_n\}$; mentre se è monotòna decrescente, il suo limite è $\text{inf}_{n\in\mathbb{N}} \{a_n\}$.

"DeSkyno18":Quindi nel caso in cui non è limitata il suo estremo è infinito e di conseguenza è divergente?

Se non è limitata dall'alto ed è monotòna crescente, il suo limite esiste ed è $\lim_{n\to\infty} a_n=\text{sup}_{n\in\mathbb{N}} \{a_n\}=+\infty$; se non è limitata dal basso ed è monotòna decrescente, il suo limite esiste è $\lim_{n\to\infty} a_n=\text{inf}_{n\in\mathbb{N}} \{a_n\}=-\infty$.

[gugo82]

Beh, la disgiunzione in "converge o diverge" mi pare sia esclusiva, no?
Quindi...

[DeSkyno18]

"Mephlip":
Non in base al segno, in base alla monotonia.

Si, hai ragione ho sbagliato termine. Grazie mille dell'aiuto!