Successione limitata a valori reali. Quesito teorico
Ciao a tutti questo esercizio è un tema d'esame. Vorrei sapere se l'ho risolto in maniera corretta. Grazie in anticipo.
Sia \(\displaystyle {a_n} \) una successione limitata a valori reali.
Dimostrare o confutare ciascuna delle seguenti affermazioni.
1- Se la classe limite di \(\displaystyle {a_n} \) ha cardinalità finita, allora esiste \(\displaystyle {b_n} \) periodica tale che per ogni \(\displaystyle \varepsilon>0 \) definitivamente si abbia \(\displaystyle |a_n-b_n|<\varepsilon \)
2- Se esiste \(\displaystyle {b_n} \) periodica tale che per ogni \(\displaystyle \varepsilon>0 \) definitivamente si abbia \(\displaystyle |a_n-b_n|<\varepsilon \) allora la classe limite di \(\displaystyle {a_n} \) ha cardinalità finita.
l'ho svolto così
prima di dimostrare le 2 informazioni mi sono fatto 1 piccolo esempio e da lì ho dimostrato in generale
esempio:
ho \(\displaystyle a_n= \)$ { ( 1 / n ),( 1+ 1 / n ):} $ . dove \(\displaystyle \frac{1}{n} \) è definita per gli \(\displaystyle n-pari \), mentre \(\displaystyle 1+\frac{1}{n} \) per \(\displaystyle n-dipari \)
e la sua classe limite \(\displaystyle \Lambda=\{0,1\} \)
quindi ho \(\displaystyle b_n=0; b_n=1 \rightarrow b_n=b_n+2, \forall n\geq1\) ...
\(\displaystyle \forall \varepsilon, \exists N : |a_n-b_n|= \) $ { ( |( 1 / n )-0 | ),( |1+( 1 / n )-1| ):} <\varepsilon $ se \(\displaystyle n>\frac{1}{\varepsilon} \),.. \(\displaystyle N=\frac{1}{\varepsilon} \)
ora dimostro in generale le due affemazioni,per me sono entrambe VERE e ora lo dimostro, parto dalla 2:
2- \(\displaystyle b_n=\{b_1,b_2,....,b_t\} \)
\(\displaystyle b_n\in\Lambda : bi+nt \) sottosuccessione
\(\displaystyle a_i+nt\rightarrow bi \)
(\(\displaystyle a_{4m+1}\rightarrow b1 \))
QUINDI \(\displaystyle b_i \in \Lambda \)
1-
\(\displaystyle \Lambda\in finito\) cioè \(\displaystyle \Lambda=\{\gamma_1,\gamma_2,.....\gamma_t\} \) quindi \(\displaystyle b_n=\{b_1=\gamma_1,\gamma_2,.....,b_t\gamma_t, b_{t+1}=\gamma_1\} \)
Sia \(\displaystyle {a_n} \) una successione limitata a valori reali.
Dimostrare o confutare ciascuna delle seguenti affermazioni.
1- Se la classe limite di \(\displaystyle {a_n} \) ha cardinalità finita, allora esiste \(\displaystyle {b_n} \) periodica tale che per ogni \(\displaystyle \varepsilon>0 \) definitivamente si abbia \(\displaystyle |a_n-b_n|<\varepsilon \)
2- Se esiste \(\displaystyle {b_n} \) periodica tale che per ogni \(\displaystyle \varepsilon>0 \) definitivamente si abbia \(\displaystyle |a_n-b_n|<\varepsilon \) allora la classe limite di \(\displaystyle {a_n} \) ha cardinalità finita.
l'ho svolto così
prima di dimostrare le 2 informazioni mi sono fatto 1 piccolo esempio e da lì ho dimostrato in generale
esempio:
ho \(\displaystyle a_n= \)$ { ( 1 / n ),( 1+ 1 / n ):} $ . dove \(\displaystyle \frac{1}{n} \) è definita per gli \(\displaystyle n-pari \), mentre \(\displaystyle 1+\frac{1}{n} \) per \(\displaystyle n-dipari \)
e la sua classe limite \(\displaystyle \Lambda=\{0,1\} \)
quindi ho \(\displaystyle b_n=0; b_n=1 \rightarrow b_n=b_n+2, \forall n\geq1\) ...
\(\displaystyle \forall \varepsilon, \exists N : |a_n-b_n|= \) $ { ( |( 1 / n )-0 | ),( |1+( 1 / n )-1| ):} <\varepsilon $ se \(\displaystyle n>\frac{1}{\varepsilon} \),.. \(\displaystyle N=\frac{1}{\varepsilon} \)
ora dimostro in generale le due affemazioni,per me sono entrambe VERE e ora lo dimostro, parto dalla 2:
2- \(\displaystyle b_n=\{b_1,b_2,....,b_t\} \)
\(\displaystyle b_n\in\Lambda : bi+nt \) sottosuccessione
\(\displaystyle a_i+nt\rightarrow bi \)
(\(\displaystyle a_{4m+1}\rightarrow b1 \))
QUINDI \(\displaystyle b_i \in \Lambda \)
1-
\(\displaystyle \Lambda\in finito\) cioè \(\displaystyle \Lambda=\{\gamma_1,\gamma_2,.....\gamma_t\} \) quindi \(\displaystyle b_n=\{b_1=\gamma_1,\gamma_2,.....,b_t\gamma_t, b_{t+1}=\gamma_1\} \)
Risposte
La prima è ovviamente vera e la costruisci al volo la successione $b_n$ periodica richiesta (come hai fatto tu, l'idea è quella).
Edit : avevo scritto una boiata. La seconda potrebbe essere vera, ma se scrivi un po' meglio la tua dimostrazione posso dirti se, a mio parere, è giusta o meno.
Edit : avevo scritto una boiata. La seconda potrebbe essere vera, ma se scrivi un po' meglio la tua dimostrazione posso dirti se, a mio parere, è giusta o meno.
"Giuly19":
La prima è ovviamente vera e la costruisci al volo la successione $b_n$ periodica richiesta (come hai fatto tu, l'idea è quella).
La seconda mi sa tanto di falsa, potrei sbagliarmi ma considera $a_n = sin(pi n) + sin(1/n) $.
Evidentemente $b_n = sin(pi n) $ è una successione periodica tale che $| a_n - b_n | = |sin(1/n)| < epsilon$ definitivamente in quanto $sin(1/n) -> 0$ quando $n->+oo$. Però non mi pare proprio che la sua classe limita sia costituita di un numero finito di valori.
ti posso dire però che se prendo \(\displaystyle a_n=\sin \frac{\pi n}{2} \) con \(\displaystyle n\geq 0 \)..la sua classe limite \(\displaystyle \Lambda=\{0,1,-1\} \)..cioè è finita la sua classe limite..
"Giuly19":
La prima è ovviamente vera e la costruisci al volo la successione $b_n$ periodica richiesta (come hai fatto tu, l'idea è quella).
Edit : avevo scritto una boiata. La seconda potrebbe essere vera, ma se scrivi un po' meglio la tua dimostrazione posso dirti se, a mio parere, è giusta o meno.
come potrei scriverla meglio?.. un suggerimento? XD
Cavolo, sei riuscito a quotare la mia scemenza XD.
Comunque per esempio facendomi capire quello che hai scritto, visto che non mi è chiaro
Comunque per esempio facendomi capire quello che hai scritto, visto che non mi è chiaro
Per rispondere però ad entrambi ho come dire fatto riferimento al mio esempio-idea 
Comunque per la b ho risposto così
ho \(\displaystyle b_n=\{b_1,b_2,.....,b_t\} \) .. \(\displaystyle (b_1,b_2,b_3,b_4,...) \) questi sn i valori della classe limite, (ho ipotizzato più di 2 valori come al mio esempio-idea XD, perchè ora lo devo dimostrare in generale e la classe limite non sempre ha solamente 2 valori)
quindi \(\displaystyle b_i \in \Lambda : b_i+nt \) costruisco una sottosuccessione \(\displaystyle (b_i+4m=b_1=b_5=b_9) \)
quindi \(\displaystyle a_{i+nt} \rightarrow b_i \) .. (e questo \(\displaystyle b_i \) coincide con i valori \(\displaystyle b_1, b_2,.. \) che ho scritto sopra)
(\(\displaystyle a_{4n+1}\rightarrow b_1 \))
dunque \(\displaystyle b_i \in \Lambda \)
Comunque per la b ho risposto così
ho \(\displaystyle b_n=\{b_1,b_2,.....,b_t\} \) .. \(\displaystyle (b_1,b_2,b_3,b_4,...) \) questi sn i valori della classe limite, (ho ipotizzato più di 2 valori come al mio esempio-idea XD, perchè ora lo devo dimostrare in generale e la classe limite non sempre ha solamente 2 valori)
quindi \(\displaystyle b_i \in \Lambda : b_i+nt \) costruisco una sottosuccessione \(\displaystyle (b_i+4m=b_1=b_5=b_9) \)
quindi \(\displaystyle a_{i+nt} \rightarrow b_i \) .. (e questo \(\displaystyle b_i \) coincide con i valori \(\displaystyle b_1, b_2,.. \) che ho scritto sopra)
(\(\displaystyle a_{4n+1}\rightarrow b_1 \))
dunque \(\displaystyle b_i \in \Lambda \)
Sarà che non sai scrivere in codice in modo comprensibile, ma io continuo a non capire nemmeno tanto bene nemmeno l'idea della tua dimostrazione.
Comunque per farla breve dire che $|a_n - b_n| < epsilon $ per ogni $epsilon >0$ definitivamente è equivalente a $lim_n b_n = lim_n a_n $ (nell'ipotesi di limitatezza delle due successioni -edit: e di esistenza del limite -).Edit: Però in effetti non è detto che il limite esista, quindi formalmente è necessario prendere le sottosuccessioni e "applicare" la definizione di classe limite (cosa che in questo momento non ho voglia di scrivere). Se hai voglia di scriverlo bene tu ti faccio sapere cosa ne penso!
Resta il fatto che sono convinto anche io che la 2 sia vera.
Comunque per farla breve dire che $|a_n - b_n| < epsilon $ per ogni $epsilon >0$ definitivamente è equivalente a $lim_n b_n = lim_n a_n $ (nell'ipotesi di limitatezza delle due successioni -edit: e di esistenza del limite -).Edit: Però in effetti non è detto che il limite esista, quindi formalmente è necessario prendere le sottosuccessioni e "applicare" la definizione di classe limite (cosa che in questo momento non ho voglia di scrivere). Se hai voglia di scriverlo bene tu ti faccio sapere cosa ne penso!
Resta il fatto che sono convinto anche io che la 2 sia vera.
"Giuly19":
Sarà che non sai scrivere in codice in modo comprensibile, ma io continuo a non capire nemmeno tanto bene nemmeno l'idea della tua dimostrazione.
Comunque per farla breve dire che $|a_n - b_n| < epsilon $ per ogni $epsilon >0$ definitivamente è equivalente a $lim_n b_n = lim_n a_n $ (nell'ipotesi di limitatezza delle due successioni). Da questo segue (a meno di controesempi che in questo momento mi sfuggono) che le classi limite delle due successioni sono lo stesso insieme.
ah ok!.. faccio così ora ho degli altri esercizi da fare e da mettere a posto alcuni appunti, poi appena trovo 1 buco metto a posto quello che ho fatto sul mio foglio (di brutta tra l'altro), e lo metto su qui per farti capire meglio cosa ho fatto
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