Successione estratta
Ciao, mi sono iscritto ieri al forum, avevo postato un nuovo argomento ma non so perché non lo trovo più nel profilo, forse ho sbagliato ad editare qualcosa....
vorrei chiedere se il mio ragionamento è corretto:
sia $I:= [a,b]sub RR $ con $ a,bin RR $ ora sia $ {x_N}_(Nin NN^+) $ una successioni di p.ti $ x in RR $ tali che $ forall N \ a<=x_N<=b $ ovvero i suoi elementi sono tutti elementi di $ I $. allora posso affermare che $ {x_N} $ è limitata. posso dimostrare ora che posso estrarre da $ {x_N} $ almeno una successione convergente. A questo scopo posso creare la seguente $ {w_N} $:
$ w_0=x_1 \ \ \ \ \ \ ;\ forallN>=1,Nin NN \ \ \ w_N=max{x_(N),x_(N+1),w_(N-1)} $
posso subito affermare che sono vere le seguenti:
$ N:{ (x_N<=w_N),(w_N-1<=w_N):}\ \ ;\ \ N-1:{ (x_(N-1)<=w_(N-1)),(w_(N-2)<=w_(N-1)):}; ... $
ovvero ho vera la seguente catena di disuguaglianze:
$ w_1<=w_2<=...<=w_(n-1)<=w_(N) $ ossia la successione {w_N} è monotona crescente, e inoltre poiché è limitata convergerà ad un p.to $ c $, il quale sarà ancora un p.to di $ [a,b] $, se così non fosse dovrei trovare che [a,b] sia un insieme bucato ma ciò non è possibile in quanto tale intervallo è un sottoinsieme di $ RR $.
grazie in anticipo a chiunque risponda
vorrei chiedere se il mio ragionamento è corretto:
sia $I:= [a,b]sub RR $ con $ a,bin RR $ ora sia $ {x_N}_(Nin NN^+) $ una successioni di p.ti $ x in RR $ tali che $ forall N \ a<=x_N<=b $ ovvero i suoi elementi sono tutti elementi di $ I $. allora posso affermare che $ {x_N} $ è limitata. posso dimostrare ora che posso estrarre da $ {x_N} $ almeno una successione convergente. A questo scopo posso creare la seguente $ {w_N} $:
$ w_0=x_1 \ \ \ \ \ \ ;\ forallN>=1,Nin NN \ \ \ w_N=max{x_(N),x_(N+1),w_(N-1)} $
posso subito affermare che sono vere le seguenti:
$ N:{ (x_N<=w_N),(w_N-1<=w_N):}\ \ ;\ \ N-1:{ (x_(N-1)<=w_(N-1)),(w_(N-2)<=w_(N-1)):}; ... $
ovvero ho vera la seguente catena di disuguaglianze:
$ w_1<=w_2<=...<=w_(n-1)<=w_(N) $ ossia la successione {w_N} è monotona crescente, e inoltre poiché è limitata convergerà ad un p.to $ c $, il quale sarà ancora un p.to di $ [a,b] $, se così non fosse dovrei trovare che [a,b] sia un insieme bucato ma ciò non è possibile in quanto tale intervallo è un sottoinsieme di $ RR $.
grazie in anticipo a chiunque risponda
Risposte
Se lo scopo è quello di estrarre una sottosuccessione, il tuo ragionamento non funziona.
Lo vedi subito considerando la successione \(x_n = 1/n\), per la quale la tua costruzione fornisce \(w_n = 1\) per ogni \(n\).
Lo vedi subito considerando la successione \(x_n = 1/n\), per la quale la tua costruzione fornisce \(w_n = 1\) per ogni \(n\).
Grazie mille per la tua risposta 
. Effettivamente subito dopo averla letta mi sono accorto che non creavo affatto una sotto successione estratta. Ero troppo incentrato a trovarne una monotona. Quindi ora ho preso il problema un po più alla larga,e devo essere sicuro di essere coerente con la definizione di sotto successione estratta! credo di aver trovato una soluzione, che posto appena ho un po più di tempo! Spero che tu abbia voglia di dargli una controllata, comunque ti ringrazio per avermi già risposto
. Effettivamente subito dopo averla letta mi sono accorto che non creavo affatto una sotto successione estratta. Ero troppo incentrato a trovarne una monotona. Quindi ora ho preso il problema un po più alla larga,e devo essere sicuro di essere coerente con la definizione di sotto successione estratta! credo di aver trovato una soluzione, che posto appena ho un po più di tempo! Spero che tu abbia voglia di dargli una controllata, comunque ti ringrazio per avermi già risposto
scrivo la mia ipotesi di soluzione:
posso dividere l'intervallo $ I=[a,b] $ in modo iterativo con un metodo simile a quello di bisezione del teorema degli zeri:
quindi scrivo:
per k=0 $ I_0=[a_0,b_0]\ a_0=a,b_0=b,c_0=(a_0+b_0)/2 $
per k=1 $ { ( I_1^s=[a_1^s , b_1^s]\ a_1^s=a,b_1^s=c_0, c_1^s=(a_1^s+ b_1^s)/2 ),( I_1^d=[a_1^d , b_1^d]\ a_1^d=c_0,b_1^d=b_0, c_1^d=(a_1^d+ b_1^d)/2):} $
per k=2 $ { ( I_2^(ss)=[a_2^(ss) , b_2^(ss)]\ a_2^(ss)=a_1^s,b_2^(ss)=c_1^s, c_2^(ss)=(a_2^(ss)+ b_2^(ss))/2 ),( I_2^(sd)=[a_2^(sd) , b_2^(sd)]\ a_2^(sd)=c_1^s,b_2^(sd)=b_1^s, c_2^(sd)=(a_2^(sd)+ b_2^(sd))/2), (I_2^(ds)=[a_2^(ds) , b_2^(ds)]\ a_2^(ds)=a_1^d,b_2^(ds)=c_1^d, c_2^(ds)=(a_2^(ds)+ b_2^(ds))/2 ),(I_2^(dd)=[a_2^(dd) , b_2^(dd)]\ a_2^(dd)=c_1^d,b_2^(dd)=b_1^d, c_2^(dd)=(a_2^(dd)+ b_2^(dd))/2 ):} $
e così via...
è chiaro che in almeno uno di questi sotto intervalli di $ I $ trovo infiniti elementi della successione. la mia idea (spero di riuscire a spiegare bene quello che voglio fare) è di assegnare all'elemento $ w_k $ un elemento della successione $ {x_N} $ che si trova in uno degli intervalli, che creo al passo k-esimo, che contiene "definitivamente" infiniti elementi di $ {x_N} $, e per essere coerente con la definizione di sotto successione:per k=0 prendo in modo arbitrario un certo indice $ N_0 $ e scrivo $ w_0=x_(N_0) $; per $ k>=1 $ considero il primo elemento di $ x_N $ che si trova nell'intervallo scelto al passo k-esimo che ha come indice $ N_k $ tale che $ N_k>N_(k-1) $. In questo modo sono sicuro di estrarre elementi attraverso una successione di indici strettamente monotona crescente; questo è l'errore presente nella mia precedente costruzione!
Posso osservare adesso che ad ogni passo per $ k>=1 $ devo scegliere un solo intervallo, e potrebbe capitare che entrambi(sono solo due perché gli altri gli elimino al passo precedente) soddisfino la mia condizione, in questo caso ne scelgo uno in modo arbitrario. Ad ogni modo la mia suddivisione mi crea intervalli di ampiezza sempre più piccoli e nel particolare si verifica che $ |I_k|=b_k-a_k=(b-a)/2^k $
e verifico che questa quantità tende a zero per $ krarr +infty $. Inoltre tale suddivisione mi crea due successioni $ {a_k},{b_k} $ che risultano essere monotone e limitate (per $ {a_k}\ \forallkin NN \ \ a<=a_0<=a_1<=...<=a_k<=b $ ), per cui convergono ad un limite finito che risulta essere lo stesso ( $ lim_(krarr+infty)(b_k-a_k)=(l_b-l_a)=0hArr l_b=l_a $ ) e risulta essere un punto $ cinI $ . inoltre essendo che ad ogni passo scelgo l'elemento dell'estratta in uno dei sotto intervalli creati allora verifico sempre che
$ forallkin NN\ \ \ \ \ \ \ \ a_k<=w_k<=b_k $
allora per il th. del confronto $ w_krarr c $ . spero di non aver commesso errori. ringrazio chiunque voglia controllare.
posso dividere l'intervallo $ I=[a,b] $ in modo iterativo con un metodo simile a quello di bisezione del teorema degli zeri:
quindi scrivo:
per k=0 $ I_0=[a_0,b_0]\ a_0=a,b_0=b,c_0=(a_0+b_0)/2 $
per k=1 $ { ( I_1^s=[a_1^s , b_1^s]\ a_1^s=a,b_1^s=c_0, c_1^s=(a_1^s+ b_1^s)/2 ),( I_1^d=[a_1^d , b_1^d]\ a_1^d=c_0,b_1^d=b_0, c_1^d=(a_1^d+ b_1^d)/2):} $
per k=2 $ { ( I_2^(ss)=[a_2^(ss) , b_2^(ss)]\ a_2^(ss)=a_1^s,b_2^(ss)=c_1^s, c_2^(ss)=(a_2^(ss)+ b_2^(ss))/2 ),( I_2^(sd)=[a_2^(sd) , b_2^(sd)]\ a_2^(sd)=c_1^s,b_2^(sd)=b_1^s, c_2^(sd)=(a_2^(sd)+ b_2^(sd))/2), (I_2^(ds)=[a_2^(ds) , b_2^(ds)]\ a_2^(ds)=a_1^d,b_2^(ds)=c_1^d, c_2^(ds)=(a_2^(ds)+ b_2^(ds))/2 ),(I_2^(dd)=[a_2^(dd) , b_2^(dd)]\ a_2^(dd)=c_1^d,b_2^(dd)=b_1^d, c_2^(dd)=(a_2^(dd)+ b_2^(dd))/2 ):} $
e così via...
è chiaro che in almeno uno di questi sotto intervalli di $ I $ trovo infiniti elementi della successione. la mia idea (spero di riuscire a spiegare bene quello che voglio fare) è di assegnare all'elemento $ w_k $ un elemento della successione $ {x_N} $ che si trova in uno degli intervalli, che creo al passo k-esimo, che contiene "definitivamente" infiniti elementi di $ {x_N} $, e per essere coerente con la definizione di sotto successione:per k=0 prendo in modo arbitrario un certo indice $ N_0 $ e scrivo $ w_0=x_(N_0) $; per $ k>=1 $ considero il primo elemento di $ x_N $ che si trova nell'intervallo scelto al passo k-esimo che ha come indice $ N_k $ tale che $ N_k>N_(k-1) $. In questo modo sono sicuro di estrarre elementi attraverso una successione di indici strettamente monotona crescente; questo è l'errore presente nella mia precedente costruzione!
Posso osservare adesso che ad ogni passo per $ k>=1 $ devo scegliere un solo intervallo, e potrebbe capitare che entrambi(sono solo due perché gli altri gli elimino al passo precedente) soddisfino la mia condizione, in questo caso ne scelgo uno in modo arbitrario. Ad ogni modo la mia suddivisione mi crea intervalli di ampiezza sempre più piccoli e nel particolare si verifica che $ |I_k|=b_k-a_k=(b-a)/2^k $
e verifico che questa quantità tende a zero per $ krarr +infty $. Inoltre tale suddivisione mi crea due successioni $ {a_k},{b_k} $ che risultano essere monotone e limitate (per $ {a_k}\ \forallkin NN \ \ a<=a_0<=a_1<=...<=a_k<=b $ ), per cui convergono ad un limite finito che risulta essere lo stesso ( $ lim_(krarr+infty)(b_k-a_k)=(l_b-l_a)=0hArr l_b=l_a $ ) e risulta essere un punto $ cinI $ . inoltre essendo che ad ogni passo scelgo l'elemento dell'estratta in uno dei sotto intervalli creati allora verifico sempre che
$ forallkin NN\ \ \ \ \ \ \ \ a_k<=w_k<=b_k $
allora per il th. del confronto $ w_krarr c $ . spero di non aver commesso errori. ringrazio chiunque voglia controllare.
L'idea è corretta.
Grazie, per il tua disponibilità 
. In questi giorni mi rendendo conto della potenza dell'algoritmo di bisezione , ci sto dimostrando di tutto
. In questi giorni mi rendendo conto della potenza dell'algoritmo di bisezione , ci sto dimostrando di tutto
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