Successione esponenziale

[simki]

Ciao a tutti, devo dimostrare che
$\lim_{n \to +\infty}(1-frac{1}{n})^-n = e$
È corretta la seguente dimostrazione?
$ (1-frac{1}{n})^-n = (frac{n-1}{n})^-n = (frac{n}{n-1})^n = frac{1}{(frac{n}{n-1})^-n} = frac{1}{(1-frac{1}{n})^n} = frac{1}{e^-1} = e$ ??
Oppure ho pensato che
$\lim_{n \to +\infty}(1-frac{1}{n})^-n $ se si pone, per esempio, $ t = -n $ si ha $\lim_{n \to +\infty}(1+frac{1}{t})^t = e$
è corretto?
Inoltre volevo chiarirmi un dubbio, dato che per valori molto grandi della $n$ si ha che $ (1+frac{1}{n})^n = 1 $, perchè non è sbagliato affermare che $\lim_{n \to +\infty}(1+frac{1}{n})^n = e$ (cioè per $n \to+\infty$) ?

[mic999]

"simki":Ciao a tutti, devo dimostrare che
$\lim_{n \to +\infty}(1-frac{1}{n})^-n = e$
È corretta la seguente dimostrazione?
$ (1-frac{1}{n})^-n = (frac{n-1}{n})^-n = (frac{n}{n-1})^n = frac{1}{(frac{n}{n-1})^-n} = frac{1}{(1-frac{1}{n})^n} = frac{1}{e^-1} = e$ ??
Oppure ho pensato che
$\lim_{n \to +\infty}(1-frac{1}{n})^-n $ se si pone, per esempio, $ t = -n $ si ha $\lim_{n \to +\infty}(1+frac{1}{t})^t = e$
è corretto?
Inoltre volevo chiarirmi un dubbio, dato che per valori molto grandi della $n$ si ha che $ (1+frac{1}{n})^n = 1 $, perchè non è sbagliato affermare che $\lim_{n \to +\infty}(1+frac{1}{n})^n = e$ (cioè per $n \to+\infty$) ?

E' corretto come hai fatto!
Attenzione, se usi la sostituzione -n=t allora t tenderà a meno infinito..

[dissonance]

Però hai fatto un sacco di passaggi inutili. Puoi scrivere direttamente
\[
\left( 1-\frac 1 n\right)^{-n}=\frac{1}{(1-1/n)^n}, \]
e concludere come sopra, oppure
\[
\left( 1-\frac 1 n\right)^{-n}=\left(\frac{n}{n-1}\right)^n= \left(1+\frac{1}{n-1}\right)^n, \]
dove ho aggiunto e sottratto \(-1\) al numeratore. Il membro destro di questa identità tende a \(e\), prova a dimostrarlo se vuoi

[simki]

Grazie ad entrambi