Successione e serie...integrali

[Piera4]

1) Sia $a_1=1$, $a_(n+1)=int_0^(a_(n))e^(-x^2)dx, calcolare
$lim_(n->+infty)a_n$

2) Stabilire il carattere della serie
$sum_1^(+infty)int_0^(1/n)e^x*sen^(40)x *dx$

[_luca.barletta]

1) Non dovrebbe essere: $lim_(n->+infty)a_n = 0$ ?

[Piera4]

Si, è zero. Chi lo dimostra?

[_luca.barletta]

Io ci sono arrivato con un ragionamento semplice: $a_2=sqrt(pi)/2erf(1)<1=a_1$, dunque $a_2

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[_luca.barletta]

2) Sono arrivato a questa espressione:
$ int_0^(1/n)e^xsin^40(x)dx = (sin(40/n)-40e^(1/n)cos(40/n)+40)/41$

E direi che la serie è indeterminata.

[Piera4]

1) La convergenza a zero può essere dimostrata cosi':
come ha detto Luca $a_n$ è decrescente ed essendo anche limitata ammette limito finito $L$.
Dalla definizione della successione suddetta segue che
$L=int_0^Le^(-x^2)dx$,
applicando il teorema della media si ha
$int_0^Le^(-x^2)dx=Le^(-c^2)$ con $0<=c<=L$ quindi
$L=Le^(-c^2)$, ovvero $L=0$.

2) Non so come tu abbia fatto a calcolare quell'integrale, io comunque se non ho commesso errori ho dimostrato che la serie converge.

[_luca.barletta]

2) Mi sono accorto di avere fatto un errore nel calcolo dell'integrale, quindi ritiro quello che ho detto sulla serie.

[_luca.barletta]

2) Approccio soft:
$sum_1^(+infty)int_0^(1/n)e^x*sen^(40)x *dx le sum_1^(+infty)int_0^(1/n)e^x dx = sum_1^(+infty)e^(1/n)-1 < L

[Piera4]

No, perchè $e^(1/n)-1$ si comporta come $1/n$ che diverge (la serie associata).

[_luca.barletta]

Azz, hai ragione, non me n'ero accorto. Oltretutto $lim_(n->infty) e^(1/n)=1$, che babbo che sono.

[Piera4]

Anche di questa serie $sum_1^(+infty)int_0^(1/n)e^x*sen^(40)x *dx$
ne ho dimostrato la convergenza (almeno cosi' ricordo) con una tecnica simile (vedere topic Somme).
Curioso il fatto che in entrambi gli esercizi, che sono molto simili, sia intervenuto luca.barletta

[_luca.barletta]

Non mi ricordavo questo topic stagionato