Successione e convergenza
Data la successione definita da:
\( \begin{cases} a_0=\alpha \varepsilon(0,1) \\ a_{n+1}=a_n-a_n^3 \end{cases} \)
si chiede di provare preliminarmente che \( a_n\varepsilon (0,1) \) per ogni \( n\epsilon N \). Successivamente mostrare che \( a_n \) risulta convergente e dedurre il valore del limite \( L \)
Come mi muovo? Per la prima parte ho qualche idea, credo sia abbastanza facile stimare dall'alto e dal basso quei valori, ma poi?
\( \begin{cases} a_0=\alpha \varepsilon(0,1) \\ a_{n+1}=a_n-a_n^3 \end{cases} \)
si chiede di provare preliminarmente che \( a_n\varepsilon (0,1) \) per ogni \( n\epsilon N \). Successivamente mostrare che \( a_n \) risulta convergente e dedurre il valore del limite \( L \)
Come mi muovo? Per la prima parte ho qualche idea, credo sia abbastanza facile stimare dall'alto e dal basso quei valori, ma poi?
Risposte
Per la prima parte basta mostrare che la successione è monotona decrescente...
Per la seconda ti basta risolvere l'equazione $x=x-x^3$, poiché per $n$ tendente a infinito si ha $|a_{n+1}-a_n|=|(a_n-a_n^3)-a_n| \rightarrow 0$...
Per la seconda ti basta risolvere l'equazione $x=x-x^3$, poiché per $n$ tendente a infinito si ha $|a_{n+1}-a_n|=|(a_n-a_n^3)-a_n| \rightarrow 0$...
Per la prima parte quindi dimostro che \( \frac{a_{n+1}}{a_n} \leq 1 \), ovvero \( \frac{a_n-a_n^3}{a_n}=1-a_n^2\leq 1 \) Basta questo? Non devo dimostrare che è anche maggiore di 0?
Per la seconda parte non ho capito bene, il limite sarebbe 0? Perché?
Per la seconda parte non ho capito bene, il limite sarebbe 0? Perché?
"petrogass":
Non devo dimostrare che è anche maggiore di 0?
Esatto in generale che $0<\cdots
"petrogass":
Per la seconda parte non ho capito bene, il limite sarebbe 0? Perché?
Condizione necessaria affinché la successione converga: Se $a_n$ converge allora $\lim_{n \rightarrow +\infty}|a_{n+1}-a_n|=0$
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