Successione divergente ma distanza reciproca limitata

[curiosone1]

Ciao ragazzi,
allora abbiamo questa successione: y=log(n) con n appartenente ai numeri naturali (n>=1).
Questa successione è divergente (tende a +infinito) ma la distanza tra n e n+1, cioè la distanza |log(n+1)-log(n)| tende a diminuire!
Abbiamo fatto una prova con un programma fatto al momento in linguaggio Java e qui potete vedere:

Programma in Java:

import java.io.*;

public class Main {

	public static void main(String arg[]) {
		double distanza;
		for(int i=1; i<100; i++) {
			System.out.println("****************");
			System.out.println("i: " + Math.log(i));
			System.out.println("i+1: " + Math.log(i+1));
			distanza = Math.abs((Math.log(i)) - (Math.log(i+1)));
			System.out.println("Distanza: " + distanza);			
			System.out.println("****************");
		}		
	}

}

Output del programma (delle ultime righe):

****************
****************
i: 4.553876891600541
i+1: 4.564348191467836
Distanza: 0.010471299867295336
****************
****************
i: 4.564348191467836
i+1: 4.574710978503383
Distanza: 0.010362787035546717
****************
****************
i: 4.574710978503383
i+1: 4.584967478670572
Distanza: 0.010256500167189486
****************
****************
i: 4.584967478670572
i+1: 4.59511985013459
Distanza: 0.010152371464017484
****************
****************
i: 4.59511985013459
i+1: 4.605170185988092
Distanza: 0.010050335853502013
****************

A questo punto ci ricordiamo un teorema: se una successione è convergente, allora è una successione di Cauchy.
Qui abbiamo una successione divergente, ma (ci verrebbe da dire, ma sappiamo che è errato) che è di Cauchy.
Noi abbiamo un appunto che ci dice che una successione è di Cauchy, se la distanza reciproca tra gli elementi tende a diminuire, come nel nostro caso.

Qual è il nostro errore?

Grazie mille

[gugo82]

Non ci vedo nulla di strano, perché la successione di termine generale $a_n = log n$ non è di Cauchy.

Infatti, se lo fosse, in corrispondenza di ogni $\epsilon >0$ esisterebbe un $\nu \in \NN$ tale che per ogni $n> \nu$ e per ogni $p\in \NN$:
\[
|\log (n+p) - \log n|<\varepsilon\; ;
\]
scelto, ad esempio, $\epsilon = 1$, ciò equivarrebbe a dire che per ogni $n>\nu$ risulta:
\[
|\log (n+p) - \log n| <1\, ,
\]
il che implicherebbe:
\[
\sup_{p\in \mathbb{N}} |\log(n+p) - \log n| \leq 1
\]
per ogni fissato $n>\nu$... Ma ciò è assurdo, perché la successione di termine generale $b_p:=\log (n+p) - \log n$ non è limitata superiormente per nessun $n$.

Allora, cos'è che non funziona nel vostro ragionamento?
Semplice: state sostituendo alla condizione di Cauchy (che richiede che, per $n$ "grande", la distanza tra il termine $a_n$ ed un qualsiasi termine successivo $a_{n+p}$ sia "piccola") con una condizione molto più debole (cioè che, per $n$ "grande", la distanza tra $a_n$ ed il termine successivo $a_{n+1}$ sia "piccola").

[curiosone1]

Ciao Gugo82
Infatti, dopo aver postato la domanda, ho continuato a pensare, a pensare, a pensare e così via... E credo di essere giunto alla medesima risposta (e correggemi se sbaglio): la distanza reciproca non è tra a(n) e a(n+1), ma fissato un n, la distanza tende ad essere più piccola:
(1) tra a(n) e a(n+1)
(2) tra a(n) e a(n+2)
(3) tra a(n) e a(n+3)
(4) tra a(n) e a(n+4)
(5) ... ... ... ... ...
Ecco, credo di essere giunto alle tue medesime conclusioni (se non mi sbaglio, se no non ho capito ancora nulla!)
E grazie per la tua risposta