Successione discendente di chiusi
Sia $E_n$ una successione discendente di chiusi non vuoti di $CC$ cioè $E_{n+1}\subseteq E_{n}$. Può essere
$\bigcap_{n=1}^{oo}E_n=\emptyset$?
$\bigcap_{n=1}^{oo}E_n=\emptyset$?
Risposte
Sì: prendi $E_n = \{z \in CC\ |\ Re(z) \ge n\}$.
se posso interpretare la perplessità di ficus2000, potrebbe derivare dal teorema di Cantor
il quale dice che in uno spazio metrico completo (ad es. in $CC$), una successione di chiusi inscatolati (come li chiamo io...) t.c. il diam vada a zero ha intersezione non vuota (e, ovviamente, contiene solo un punto)
ora, può sembrare stano che, pendendo insiemi "grossi" lo stesso non valga
è che la condizione sul diam ci garantisce che gli elementi stanno "vicini vicini" e da qui si trova una successione di Cauchy. A quel punto con la completezza il gioco è fatto.
il quale dice che in uno spazio metrico completo (ad es. in $CC$), una successione di chiusi inscatolati (come li chiamo io...) t.c. il diam vada a zero ha intersezione non vuota (e, ovviamente, contiene solo un punto)
ora, può sembrare stano che, pendendo insiemi "grossi" lo stesso non valga
è che la condizione sul diam ci garantisce che gli elementi stanno "vicini vicini" e da qui si trova una successione di Cauchy. A quel punto con la completezza il gioco è fatto.
"Fioravante Patrone":
se posso interpretare la perplessità di ficus2000, potrebbe derivare dal teorema di Cantor
In sostanza, il dubbio era quello. Cmq, l'esempio di Martino mi ha invitato a riflettere nel caso in cui $E_1$ (e quindi anche tutti gli altri $E_n$) è limitato. In tal caso, l'intersezione è non vuota. Infatti, esiste un compatto $K\subseteq CC$ contenente $E_n$, per ogni $n\ge 1$. Se fosse $\bigcap_{n=1}^{oo}E_n=\emptyset$ allora
$K=\bigcup_{n=1}^{oo}K\setminus E_n$
così $K\setminus E_n$ è un ricoprimento aperto di $K$. Estraendo un sottoricorpimento finito e ricordando che $E_{n+1}\subseteq E_{n}$ è
$K=K\setminus E_N$
per qualche $N\in NN$, cioè $E_N=\emptyset$, assurdo.
Sotto queste ipotesi (più deboli rispetto $\text{inf}_n \text{diam} E_n =0$) l'intersezione può consistere anche di almeno 2 punti.
ok, solo un warning per il viandante di passaggio
tu sfrutti il fatto che i limitati in $CC$ sono compatti
cosa che non è vera in uno spazio metrico completo qualsiasi
insomma, il "vero" punto di partenza del tuo ragionamento è che $E_1$ sia compatto (se poi uno vuol fare il figo, può dire che basta che uno degli $E_n$ siano compatti)
tu sfrutti il fatto che i limitati in $CC$ sono compatti
cosa che non è vera in uno spazio metrico completo qualsiasi
insomma, il "vero" punto di partenza del tuo ragionamento è che $E_1$ sia compatto (se poi uno vuol fare il figo, può dire che basta che uno degli $E_n$ siano compatti)
"Fioravante Patrone":
cosa che non è vera in uno spazio metrico completo qualsiasi
[OT]
Già che ci siamo, esiste un controesempio?
So che uno spazio metrico completo e totalmente limitato (cioè per ogni $\epsilon>0$ ricopribile da un numero finito di bolle $B_{\epsilon})$ è compatto. A questo punto basterebbe trovare uno spazio metrico limitato ma non totalmente limitato...
[/OT]
carino l'OT, visto chi ha cominciato il topic
speriamo non si offenda!
l'esempio è classico
l'insieme delle $x$ t.c. $||x|| \le 1$, in $l^2$
è noto che non è un compatto (per la topologia forte, naturalmente)
d'altronde, se prendiamo la solita base canonica $e_n$ non si riesce a cavarne fuori una sottosuccessione convergente
speriamo non si offenda!
l'esempio è classico
l'insieme delle $x$ t.c. $||x|| \le 1$, in $l^2$
è noto che non è un compatto (per la topologia forte, naturalmente)
d'altronde, se prendiamo la solita base canonica $e_n$ non si riesce a cavarne fuori una sottosuccessione convergente
"Fioravante Patrone":
l'esempio è classico
l'insieme delle $x$ t.c. $||x|| \le 1$, in $l^2$
Già, gli spazi di funzioni...
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