Successione di zeri di polinomi
Salve, mi sono incastrato alla fine di questo esercizio:
Sia [tex]a_{n}[/tex] la successione costituita, per ogni n, dall'unica radice positiva del polinomio [tex]x^n+...+x^2+x-1[/tex]. Mostrare che la successione converge e calcolarne il limite.
Io sono arrivato a dimostrare che la successione è decrescente e compresa tra 0 e 1, perchè per n=1, il polinomio è [tex]x-1[/tex], che si annulla in 1, per n=2 la soluzione viene spostata a sinistra perché al polinomio [tex]x-1[/tex] si aggiunge il pezzo in [tex]x^2[/tex]; la somma di due funzioni strettamente crescenti è strettamente crescente, quindi l'unica soluzione strettamente positiva è strettamente minore di 1. Questo ragionamento si ripete per ogni n e quindi la successione è decrescente (e compresa tra 0 e 1), quindi converge.
Ma non saprei proprio come trovare il valore esatto del limite, avete qualche idea?
Grazie per aver letto, comunque
Sia [tex]a_{n}[/tex] la successione costituita, per ogni n, dall'unica radice positiva del polinomio [tex]x^n+...+x^2+x-1[/tex]. Mostrare che la successione converge e calcolarne il limite.
Io sono arrivato a dimostrare che la successione è decrescente e compresa tra 0 e 1, perchè per n=1, il polinomio è [tex]x-1[/tex], che si annulla in 1, per n=2 la soluzione viene spostata a sinistra perché al polinomio [tex]x-1[/tex] si aggiunge il pezzo in [tex]x^2[/tex]; la somma di due funzioni strettamente crescenti è strettamente crescente, quindi l'unica soluzione strettamente positiva è strettamente minore di 1. Questo ragionamento si ripete per ogni n e quindi la successione è decrescente (e compresa tra 0 e 1), quindi converge.
Ma non saprei proprio come trovare il valore esatto del limite, avete qualche idea?
Grazie per aver letto, comunque
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