Successione di polinomi per approssimare il valore assoluto
Ciao a tutti.
Ho una successione di polinomi definita per ricorrenza:
$P_0=0, P_{n+1}=P_n+1/2(t^2-P_n^2)$
su $t\in[-1,1]$ .
Questa successione approssima in valore assoluto su $[-1,1]$ in modo uniforme.
Per dimostrarlo prima mi viene chiesto di far vedere che $P_n(t)<=|t|$ su $[-1,1]$.
Ho provato a farlo per induzione, ma non ci riesco. Facendo qualche grafico sembra vero, ma non riesco a dimostrarlo.
Avete qualche suggerimento?Idea?
Ho una successione di polinomi definita per ricorrenza:
$P_0=0, P_{n+1}=P_n+1/2(t^2-P_n^2)$
su $t\in[-1,1]$ .
Questa successione approssima in valore assoluto su $[-1,1]$ in modo uniforme.
Per dimostrarlo prima mi viene chiesto di far vedere che $P_n(t)<=|t|$ su $[-1,1]$.
Ho provato a farlo per induzione, ma non ci riesco. Facendo qualche grafico sembra vero, ma non riesco a dimostrarlo.
Avete qualche suggerimento?Idea?
Risposte
Sicuro ti sia stato chiesto questo?
Per quella successione in genere si dimostra che $P_{n}(t)\le P_{n+1}(t)\le \sqrt{t}$ per ogni $t\in [0,1]$, e queste proprietà si verificano effettivamente per induzione osservando che
$\sqrt{t}-P_{n+1}(t) = \sqrt{t}-P_n(t)-\frac{1}{2}(t-P_n(t)^2) = (\sqrt{t}-P_n(t)) \cdot (1- \frac{1}{2}(\sqrt{t}+P_n(t)))$.
Edit: mi sono accorto adesso che ho considerato un'altra successione (non la tua), definita da
$P_{n+1}(t) = P_n(t)+\frac{1]{2}(t-P_n(t)^2)$.
Per quella successione in genere si dimostra che $P_{n}(t)\le P_{n+1}(t)\le \sqrt{t}$ per ogni $t\in [0,1]$, e queste proprietà si verificano effettivamente per induzione osservando che
$\sqrt{t}-P_{n+1}(t) = \sqrt{t}-P_n(t)-\frac{1}{2}(t-P_n(t)^2) = (\sqrt{t}-P_n(t)) \cdot (1- \frac{1}{2}(\sqrt{t}+P_n(t)))$.
Edit: mi sono accorto adesso che ho considerato un'altra successione (non la tua), definita da
$P_{n+1}(t) = P_n(t)+\frac{1]{2}(t-P_n(t)^2)$.
Rifaccio il conto nel tuo caso: hai che
$|t|-P_{n+1}(t) = |t| - P_n(t)-\frac{1}{2}(t^2-P_n(t)^2) = (|t|-P_n(t))(1-\frac{1}{2}(|t|+P_n(t)))$.
Da qui dimostri per induzione che
$P_n(t)\le P_{n+1}(t)\le |t|$ per ogni $t\in [-1,1]$ e $n\in\mathbb{N}$.
$|t|-P_{n+1}(t) = |t| - P_n(t)-\frac{1}{2}(t^2-P_n(t)^2) = (|t|-P_n(t))(1-\frac{1}{2}(|t|+P_n(t)))$.
Da qui dimostri per induzione che
$P_n(t)\le P_{n+1}(t)\le |t|$ per ogni $t\in [-1,1]$ e $n\in\mathbb{N}$.
Il testo chiede proprio di far vedere che $0<=P_n(t)<=P_{n+1}(t)<=|t|$.
E facendo i grafici dei primi 5 $P_n$ sembra vero!
Scusa non avevo letto. Ora ci guardo
E facendo i grafici dei primi 5 $P_n$ sembra vero!
Scusa non avevo letto. Ora ci guardo
Funziona! Grazie mille! Ormai stavo fondendo...
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo