Successione di funzioni uniformemente convergente
Salve, scusate se il mio primo post è una richiesta (forse lo sarà pure il secondo) ma sono in panico per delle cose che ancora non ho chiare per l'esame (di domani -.-) di analisi (una via di mezzo tra le "vecchie" analisi 1 e 2)
Allora, sto studiando la convergenza di una successione di funzioni che è:
$f_n(x)=n^2 arctan((cos^2(x))/n^2)$
ho verificato che converge alla funzione $f(x)=cos^2(x)$ ora devo dire se converge uniformemente in $[0,2pi]$
Per come abbiamo fatto durante il corso, ho cercato di verificare che il $lim_(n \to \infty)|(f_n(x)-f(x))|=0$ per $0 <=x<=2pi$
per fare ciò, ho trovato la derivata prima dell'argomento del modulo, l'ho posta a zero per trovare gli zeri e l'ho studiata per trovare i massimi e minimi della funzione $f_n(x)-f(x)$. Ho trovato che ha punti stazionari ogni $pi/2$ alternativamente massimi e minimi.
Nei massimi la $f_n(x)-f(x)$ vale 0 e nei minimi vale -1.
Ecco, io non sono sicuro al 100% di aver fatto tutto giusto fino a questo punto, ma controllando con programmi di supporto matematico sembra giusto...
A questo punto mi trovo che il limite di cui sopra sarebbe uguale a 1 per alcuni $x in [0,2pi]$.
Concludo che la successione non converge uniformamente in $[0,2pi]$ ?
grazie per l'aiuto
edit: per comodità, aggiungo la derivata che ho trovato per $f_n(x)-f(x)$
$f_n^{i}(x)-f^{i}(x)=((2sin(x)cos^5(x))/(n^4+cos^4(x)))$
Allora, sto studiando la convergenza di una successione di funzioni che è:
$f_n(x)=n^2 arctan((cos^2(x))/n^2)$
ho verificato che converge alla funzione $f(x)=cos^2(x)$ ora devo dire se converge uniformemente in $[0,2pi]$
Per come abbiamo fatto durante il corso, ho cercato di verificare che il $lim_(n \to \infty)|(f_n(x)-f(x))|=0$ per $0 <=x<=2pi$
per fare ciò, ho trovato la derivata prima dell'argomento del modulo, l'ho posta a zero per trovare gli zeri e l'ho studiata per trovare i massimi e minimi della funzione $f_n(x)-f(x)$. Ho trovato che ha punti stazionari ogni $pi/2$ alternativamente massimi e minimi.
Nei massimi la $f_n(x)-f(x)$ vale 0 e nei minimi vale -1.
Ecco, io non sono sicuro al 100% di aver fatto tutto giusto fino a questo punto, ma controllando con programmi di supporto matematico sembra giusto...
A questo punto mi trovo che il limite di cui sopra sarebbe uguale a 1 per alcuni $x in [0,2pi]$.
Concludo che la successione non converge uniformamente in $[0,2pi]$ ?
grazie per l'aiuto
edit: per comodità, aggiungo la derivata che ho trovato per $f_n(x)-f(x)$
$f_n^{i}(x)-f^{i}(x)=((2sin(x)cos^5(x))/(n^4+cos^4(x)))$
Risposte
Benvenuto lo stesso, anche se porti problemi anziché soluzioni 
A prima vista ti sei dimenticato un "sup" (o "max") prima del modulo.
Ma penso che sia una semplice dimenticanza. Direi che hai provato a fare dei conti sensati.
Non ho controllato i tuoi conti, a occhio mi convincono poco i punti stazionari che hai trovato (me li immaginerei piu' "mobili").
Comunque ottima l'idea di vedere con dei plot cosa succede. Se riesci a fare un plot per n=4 e n=5 a mio parere da li' gia' ti puoi fare una idea precisa.
A prima vista ti sei dimenticato un "sup" (o "max") prima del modulo.
Ma penso che sia una semplice dimenticanza. Direi che hai provato a fare dei conti sensati.
Non ho controllato i tuoi conti, a occhio mi convincono poco i punti stazionari che hai trovato (me li immaginerei piu' "mobili").
Comunque ottima l'idea di vedere con dei plot cosa succede. Se riesci a fare un plot per n=4 e n=5 a mio parere da li' gia' ti puoi fare una idea precisa.
"Fioravante Patrone":
Benvenuto lo stesso, anche se porti problemi anziché soluzioni
è la disperazione xD"Fioravante Patrone":
A prima vista ti sei dimenticato un "sup" (o "max") prima del modulo.
Ma penso che sia una semplice dimenticanza. Direi che hai provato a fare dei conti sensati.
verissimo, mi sono dimenticato il sup, ma nei miei calcoli c'è
"Fioravante Patrone":
Non ho controllato i tuoi conti, a occhio mi convincono poco i punti stazionari che hai trovato (me li immaginerei piu' "mobili").
Comunque ottima l'idea di vedere con dei plot cosa succede. Se riesci a fare un plot per n=4 e n=5 a mio parere da li' gia' ti puoi fare una idea precisa.
ho editato il post inserendo la derivata (controllata al calcolatore). Mi pare sia azzeri quando si azzerano $sen(x)$ o $cos(x)$ e quindi per $[pi/2]$... (domanda stupida... : per trovare gli zeri della derivata, ignoro l'n al denominatore?)
studiando il prodotto di $cos(x)sen(x)$ verifico che a partire da zero, la derivata è prima positiva, poi negativa, di nuovo positiva e così via...
ho calcolato il modulo iniziale per $x=kpi/2$ con $k in Z$ e ottengo quello scritto nel primo post.
Il mio problema è riuscire a trattare i dati raccolti e giungere alla conclusione...
A me la derivata di $f_n(x)$ viene:
$f_n^{'}(x)= - ((n^4 * 2sin(x)cos(x))/(n^4+cos^4(x)))$
Ti torna?
$f_n^{'}(x)= - ((n^4 * 2sin(x)cos(x))/(n^4+cos^4(x)))$
Ti torna?
"Fioravante Patrone":
A me la derivata di $f_n(x)$ viene:
$f_n^{'}(x)= - ((n^4 * 2sin(x)cos(x))/(n^4+cos^4(x)))$
Ti torna?
scusa sono stato leggermente preso prima...
no cmq non mi viene così, nel primo post ho scritto quella che viene a me
e l'ho pure controllata col derive e conferma i miei calcoli... cmq... gli zeri non sono gli stessi in ogni caso?
edit: ho graficato l'argomento del modulo al crescere di n... sembra convergere su tutto R a zero e la convergenza è molto rapida. Ciò farebbe supporre a una conv. uniforme non solo in $[0,2pi]$ ma in tutto R. Ma allora non capisco il motivo di quel risultato nello studio della derivata...
edit2: maledizione!
ho paura di aver commesso un grossolano errore... trovati $k pi/2$ come punti stazionari, scrivo e calcolo:
$f_n(pi/2)-f(pi/2)=n^2 arctan((cos^2(pi/2))/n^2)-cos^2(pi/2)=n^2 arctan(0)-0=0$ (identicamente)
$f_n(pi)-f(pi)=n^2 arctan((cos^2(pi))/n^2)-cos^2(pi)=n^2 arctan(1/n^2)-1$ questo lo passo al limite e trovo $\lim_{n \to \infty}(n^2 arctan(1/n^2)-1)=1-1=0$ supponendo conosciuto (poi dovrò dargli una minima spiegazione) che si tratti di un limite notevole ($\lim_{x \to \infty}(x arctan(a/x))=a$.
Ho ignorato l'$n^2$ prima dell'arcotangente e mi sa che mi sono imbrogliato.
Dici che ora possa veramente affermare che converge uniformemente in $[0,2pi]$?
E se tale fosse, posso dire che, comparendo la x solo come argomento di una funzione coseno periodica di $2pi$, è anche convergente in tutto R?
grazie ancora, scusate me sa che ho cappellato un po'...
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