Successione di funzioni non chiara

[Gandalf73]

Come detto sto riprendendo argomenti di Analisi del mio vecchio corso.
L'argomento più ostico sono le successioni di funzioni ed il loro studio.
Secondo me c'è qualcosa che non va nella definizione.
La successione di cui in oggetto è definita in $ ]0,1] $ come segue:

$ x^n {cos(nlog(x)) - sen(nlog(x)) } $ .

C'è chi ha suggerito avere funzione limite discontinua e quindi la convergenza risulta puntuale.
Non ne sono mica convinto.
Non riesco a trovare per quale valore di x risulterebbe discontinua.
Grazie a tutti
Alessandro

[marco.ve1]

Se non sbaglio per $0

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[feddy]

Per vedere se c'è convergenza puntuale basta fare il limite delle $f_n(x)$ per $n \rarr +\infty$. Ebbene, se prendi $x \in (0,1)$ allora hai una funzione limitata, cioè $cos(nlog(x)) - sin(nlog(x))$ moltiplicata per una funzione che tende a $0$, e per fatti noti questo limite fa $0$.
Per $x=1$ invece le funzioni trigonometriché si annullano vista la presenza del logaritmo e perciò il limite puntuale è $1$.

Pertanto $ f_n(x)\rarr f={ ( 0 if x\in(0,1) ),( 1 if x=1 ):} $ e questa funzione è chiaramente discontinua.

P.S: marco.ve mi ha anticipato

[anto_zoolander]

Quella successione di funzioni la puoi riscrivere come

$f_n(x)=x^n*sin(log(x^n)+(3pi)/4)$

Così si vede subito che in $(0,1)$ si ha un infinitesimo per una funzione limitata.

D’altra parte in $(0,b]$ con $0
$|x^n*sin(log(x^n)+(3pi)/4)|leq|x^n|leqb^n->0$

[Gandalf73]

Grazie a tutti,
con il vostro aiuto sto recuperando un bel po di concetti!!!
Non capisco solo come si arriva alla scrittura alternativa della successione (scompare il coseno) e cosa accade quando l'argomento del coseno (per x compreso tra 0 ed 1) va ad assumere un "valore" illimitato (per n che va verso infinito il risultato del logaritmo va verso un infinito negativo).Vale a dire è comunque lecito a livello formale maggiorare la funzione trigonometrica quando il suo argomento è illimitato? ($cos(+-infty)$ e/o $sin(+-infty)$)
Un saluto ed un grazie
Alessandro

[anto_zoolander]

La prima viene dal fatto che $asin(x)+bcos(x)=sqrt(a^2+b^2)sin(x+arctan(b/a))$

se prendi $a,b inRR$ e consideri l’insieme ${(A,phi) inRR^2:asinx+bcosx=Asin(x+phi),forall x inRR}$ basta sviluppare

$• Asin(x+phi)=Acos(phi)sin(x)+Asin(phi)cos(x)$

Ora sicuramente l’equazione è risolta se ${(a=Acos(phi)),(b=Asin(phi)):}$

Ovvero ${(arctan(b/a)=phi),(sqrt(a^2+b^2)=A):}$ chiaramente se $ane0neb$

In genere $cos(f(x))$ non ammette limite in un intorno di un punto in cui $f(x)$ diverge.
Comunque sia in generale $|cos(f(x))|leq1,forall x in Dom(f)$

Infatti $cos:RR->[-1,1]$ e $f:A->RR$
Quindi $(cos circ f):A->RR->[-1,1]$

[Gandalf73]

Ciao Anto,possiamo generalizzare (come ho notato da vecchi posts) a beneficio di molti, dicendo:
$\lim_{n\to \infty}(a^n)cos(n)=0$ se $ a in [0,1[ $?
(ovviamente estendendo il ragionamento al seno).
Grazie ancora.
A.
Ps ne ho alcune carine della forma prediletta da Otta...appena ho un attimo le posto.

[anto_zoolander]

Se proprio vuoi generalizzare, dimostra:

$f,g:A->RR$ funzioni e $x_0 inD(A)$

$• lim_(x->x_0)f(x)=0$

$• exists M in(0,+infty): |g(x)|leqM,forall x inA$

Allora $lim_(x->x_0)(fg)(x)=0$

Lo stesso puoi far considerando successioni

[Gandalf73]

Grazie Anto,ma..è vero quello che ho scritto x il limite?Lo posso dare x assodato?Grazie
A.
Ps poi passo alla dimostrazione del secondo assetto.

[anto_zoolander]

Si è corretto. Basta considerare che in genere si ha

$• |a^ncos(n)|leq|a^n| ->0,forall a in[0,1)$

Vale anche se $a in(-1,0)$?

[Gandalf73]

..secondo me non vale per a negativo.
Il limite del termine $ a ^n $ non credo esista quando a assume valori negativi sia pure compresi tra 0 ed 1 estremi esclusi.
Mi sbaglio?
A.

[otta96]

[ot]

"Gandalf73":Ps ne ho alcune carine della forma prediletta da Otta...appena ho un attimo le posto.

Ahahahahah, grazie,
A questa non ho risposto perché in questo periodo sono abbastanza impegnato e ho poco tempo da dedicare a matematicamente, e poi perché ti hanno risposto in tanti e, anche se non ho letto tutti i messaggi mi sembra che ti abbiano risposto bene.[/ot]

[anto_zoolander]

E ti sbagli.
Sia $a in (-1,0)$ allora $c_n=a^n=(-1)^n*(-a)^n$
$(-a) in (0,1)$ dunque $(-1)^n$ è limitata e $(-a)^n$ infinitesima, quindi $a^n->0$