Successione di funzioni mai uniform. convergente

[Sk_Anonymous]

Sto cercando di risolvere il seguente esercizio:

Costruire funzioni \(\displaystyle f, f_{n}: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \), \(\displaystyle n \in \mathbb{N} \), tali che:
1. \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} f_{n}(x)=f(x) \) per ogni \(\displaystyle x \in \mathbb{R} \);
2. per ogni \(\displaystyle -\infty \le a < b \le +\infty \) la convergenza al punto 1 non sia uniforme su \(\displaystyle (a,b) \).

La mia idea era quella di prendere una una successione di funzioni "schizofreniche", e mi è subito venuta in mente la funzione di Dirichlet. Ora, se prendo \(\displaystyle a Ma posso affermare che \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} f_{n}(x)=0 \)?

(E poi devo sistemare i vari dettagli)

[gugo82]

Detta \((r_n)\) un'enumerazione dei razionali, puoi addirittura porre:
\[
f_n(x)=\begin{cases} 1 &\text{, se } x=r_0,r_1,\ldots ,r_n\\
0 &\text{, altrimenti}
\end{cases}
\]
In tal modo la convergenza puntuale è verso la funzione di Dirichlet:
\[
f(x)=\begin{cases} 1 &\text{, se } x\in \mathbb{Q}\\
0 &\text{, altrimenti}
\end{cases}
\]
e non è uniforme, perchè:
\[
\sup_{\mathbb{R}} |f_n-f|\geq |f_n(r_{n+1})-f(r_{n+1})|=|0-1|=1\; .
\]

[Sk_Anonymous]

Ok gugo, grazie, tutto chiaro.
E circa la mia costruzione "ridotta", e circa la seguente domanda:

"Delirium":[...] Ma posso affermare che \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} f_{n}(x)=0 \)? [...]

cosa puoi dirmi?

[Seneca1]

Fissato $x \in (a,b) \cap QQ$, esiste esattamente un $k$ tale che $f_k (x) = 1$. Quindi $\forall \epsilon > 0$, $EE k \in NN$ tale che $\forall n > k$, $f_n(x) \in (- epsilon , epsilon)$.
Se $x \in (a,b) \setminus QQ$, $x \ne r_n$ $\forall n \in NN$ e dunque $f_n(x) = 0, \forall n \in NN$.
Allora $f_n(x) -> 0$ puntualmente.

EDIT: Ho corretto.

[Seneca1]

Inoltre \[ \text{sup}_{\mathbb{R}} | f_n - f | = \text{sup}_{\mathbb{R}} |f_n(x)| = 1\]

Infatti $\forall n \in NN$ esiste $x \in RR$ tale che $x = r_n$ e quindi $f_n(x) = 1$.

[DajeForte]

Seneca ti ha già mostrato che c'è convergenza puntuale ma non uniforme in $[a,b]$.

Le tue funzioni comunque non andrebbero bene per la richiesta dell'esercizio in quanto sono definite su $[a,b]$ e non su $RR$ come ti chiedeva l'esercizio.

Continuando comunque con le funzioni da te definite ti chiederei: fissati $a_1,\ b_1 " tali che " a

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[Sk_Anonymous]

"DajeForte":[...] Le tue funzioni comunque non andrebbero bene per la richiesta dell'esercizio in quanto sono definite su $[a,b]$ e non su $RR$ come ti chiedeva l'esercizio. [...]

Sì, questo andrebbe sistemato.

"DajeForte":[...] Continuando comunque con le funzioni da te definite ti chiederei: fissati $a_1,\ b_1 " tali che " a
Mmm... Direi di no. Comunque presi \(\displaystyle a_{1} Siccome i razionali hanno la potenza del numerabile mi basta scegliere un'enumerazione che li "enumeri tutti" in modo che venga garantita l'esistenza di un razionale in \(\displaystyle (a_{1},b_{1}) \)... Oppure vedo male e tutte le \(\displaystyle f_{n} \) devono avere il loro sup in \(\displaystyle (a_{1},b_{1}) \)? Adesso comunque mi ritiro perché sto facendo confusione. Domani ricontrollerò il tutto.

[Seneca1]

Se $r_n \in (a , b) \setminus (a_1 , b_1)$ definitivamente allora $(a_1 , b_1)$ conterrebbe un numero finito di razionali, ciò che è assurdo. Allora $\forall n \in NN$ esiste $k > n$ tale che $r_k \in (a_1 , b_1)$. Questo, se non sbaglio, ti garantisce che non c'è convergenza uniforme in $(a_1 , b_1)$.

Infatti $\text{sup}_{(a_1, b_1)} |f_n(x)| = {(0 \text{ per infiniti indici}),(1 \text{ per infiniti indici}):}$

cioè $a_n = \text{sup}_{(a_1, b_1)} |f_n(x)| = {(1 \text{ se } a_1 < r_n < b_1),(0 \text{ altrimenti}):}$

[DajeForte]

Eccomi!
Si come dice seneca. Infatti esiste una sotoosuccesione $a_{n_k}$ che è contenuta in $(a_1,b_1)$.
Dunque $s up f_{n_k}=1$ per ogni k.

[Sk_Anonymous]

Ringrazio tutti per i contributi. Mi sono preso anche l'idea di gugo, che mi è sembrata più elegante della mia.

[gugo82]

@ Delirium: Vedi che nel mio esempio, oltre a dire che la convergenza non è uniforme in \(\mathbb{R}\), si può dire lo stesso anche in ogni intervallo (limitato o no) del tipo \(]a,b[\) con \(a
Infatti, per densità, esiste sicuramente un'infinità di razionali in \(]a,b[\); ma allora, per ogni \(n\in \mathbb{N}\), esiste certamente un \(N>n\) tale che \(r_N \in ]a,b[\).

Dim.: Invero, se per assurdo ciò non fosse vero, esisterebbe \(\nu \in \mathbb{N}\) tale che \(r_N\notin ]a,b[\) per ogni \(N>\nu\), sicché risulterebbe \(\mathbb{Q}\cap ]a,b[ \subseteq \{r_0,\ldots ,r_\nu\}\), contro il fatto che \(\mathbb{Q}\cap ]a,b[\) è un insieme infinito. \(\square\)

Ne viene che, comunque si scelga un indice \(n\), si ha:
\[
\sup_{]a,b[} |f_n-f| \geq |\underbrace{f_n(r_N)}_{=0 \text{, perchè } N>n}- \overbrace{f(r_N)}^{=1\text{, per definizione}}| = |0-1|=1
\]
e perciò la convergenza non è uniforme in alcun \(]a,b[\) con \(a
Ciò acomoda anche la mancanza di convergenza uniforme nei compatti \([a,b]\) non ridotti ad un singleton, giacché:
\[
\sup_{[a,b]} |f_n-f| \geq \sup_{]a,b[} |f_n-f| \geq 1\; .
\]