Successione di funzioni integrali
Studiare la convergenza puntuale e uniforme di
$f_n(x)= int_1^n e^{-tx}/t^n \text{d} t$ con $x>0$.
Qualcuno potrebbe aiutarmi?
$f_n(x)= int_1^n e^{-tx}/t^n \text{d} t$ con $x>0$.
Qualcuno potrebbe aiutarmi?
Risposte
Idee tue?
Pensavo innanzitutto di calcolare l'integrale e calcolare il limite per la convergenza puntuale, ma non ne sono certo
Inutile provare un calcolo esplicito: quell'integrale non lo risolvi neanche con le cannonate.
Infatti, la funzione integranda non è elementarmente integrabile.
Quello che puoi fare è cercare di studiare le funzioni della successione senza un calcolo esplicito.
Innanzitutto, dato che la variabile $x$ dentro l'integrale può darti fastidio, perché non provi a "spostarla"?
Questo può essere fatto, ad esempio, facendo una sostituzione del tipo \(u=tx\) nell'integrale definito, la quale sostituzione modifica sia la funzione integranda sia gli estremi di integrazione...
Prova un po'.
Se non va, proviamo altre strade.
Infatti, la funzione integranda non è elementarmente integrabile.
Quello che puoi fare è cercare di studiare le funzioni della successione senza un calcolo esplicito.
Innanzitutto, dato che la variabile $x$ dentro l'integrale può darti fastidio, perché non provi a "spostarla"?
Questo può essere fatto, ad esempio, facendo una sostituzione del tipo \(u=tx\) nell'integrale definito, la quale sostituzione modifica sia la funzione integranda sia gli estremi di integrazione...
Prova un po'.
Se non va, proviamo altre strade.
Così
$ x^{n-1} int_x^{nx} e^{-u}/u^n \text{d} u$ ?
$ x^{n-1} int_x^{nx} e^{-u}/u^n \text{d} u$ ?
Non capisco cosa risolvo 
Effettivamente la situazione si complica...
Allora proviamo un'altra strada.
L'espressione precedente per $f_n$ dà qualche informazione sensata, cioè che ogni $f_n$ è funzione derivabile di $x$; questo fatto, però, si può ricavare da una cosa del tutto generale espressa dal cosiddetto Teorema di Derivazione degli Integrali Dipendenti da un Parametro, il quale ti dice pure che la derivata delle tue $f_n$ si può fare derivando rispetto a $x$ sotto il segno d'integrale.
In tal modo trovi:
\[
f_n^\prime (x) = \int_1^n -t\ \frac{e^{-tx}}{t^n}\ \text{d}t = -\int_1^n \frac{e^{-tx}}{t^{n-1}}\ \text{d} t
\]
e ciò ti dà informazioni circa la monotònia di $f_n$ per ogni $n$. Infatti, dato che l'integrando al terzo membro è positivo, hai \(f_n^\prime (x)<0\) per ogni $x >= 0$, dunque la $f_n$ è strettamente decrescente in $[0,+oo[$ e prende massimo in $0$.
D'altra parte, $f_n (x)>0$ per $x >= 0$, quindi hai:
\[
\sup_{x\geq 0} |f_n(x)| = f_n(0) = \int_1^n \frac{1}{t^n}\ \text{d}t
\]
ed il calcolo dell'ultimo integrale dovrebbe convincerti che la tua successione tende uniformemente in $[0,+oo[$ verso la funzione identicamente nulla.
Allora proviamo un'altra strada.
L'espressione precedente per $f_n$ dà qualche informazione sensata, cioè che ogni $f_n$ è funzione derivabile di $x$; questo fatto, però, si può ricavare da una cosa del tutto generale espressa dal cosiddetto Teorema di Derivazione degli Integrali Dipendenti da un Parametro, il quale ti dice pure che la derivata delle tue $f_n$ si può fare derivando rispetto a $x$ sotto il segno d'integrale.
In tal modo trovi:
\[
f_n^\prime (x) = \int_1^n -t\ \frac{e^{-tx}}{t^n}\ \text{d}t = -\int_1^n \frac{e^{-tx}}{t^{n-1}}\ \text{d} t
\]
e ciò ti dà informazioni circa la monotònia di $f_n$ per ogni $n$. Infatti, dato che l'integrando al terzo membro è positivo, hai \(f_n^\prime (x)<0\) per ogni $x >= 0$, dunque la $f_n$ è strettamente decrescente in $[0,+oo[$ e prende massimo in $0$.
D'altra parte, $f_n (x)>0$ per $x >= 0$, quindi hai:
\[
\sup_{x\geq 0} |f_n(x)| = f_n(0) = \int_1^n \frac{1}{t^n}\ \text{d}t
\]
ed il calcolo dell'ultimo integrale dovrebbe convincerti che la tua successione tende uniformemente in $[0,+oo[$ verso la funzione identicamente nulla.
Mi torna tutto tranne l'ultimo passaggio. Dall'ultimo integrale ottengo:
$int_1^n 1/t^n \text{d} t ==t^{1-n}/(1-n) |_1^n $. Tende a 0?
Il limite puntuale quindi è 0?
$int_1^n 1/t^n \text{d} t ==t^{1-n}/(1-n) |_1^n $. Tende a 0?
Il limite puntuale quindi è 0?
"math91":
Mi torna tutto tranne l'ultimo passaggio. Dall'ultimo integrale ottengo:
$int_1^n 1/t^n \text{d} t ==t^{1-n}/(1-n) |_1^n $. Tende a 0?
Beh, calcola esplicitamente e prendi il limite... Dovrebbe essere la cosa più semplice dell'esercizio.
"math91":
Il limite puntuale quindi è 0?
Secondo te?
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