Successione di funzioni derivate da un equazione differenziale
data l'equazione differenziale $ u'=t/n(1+u^2) $ con $ n in N "\"{0} $ si richiede di risolvere il problmea di cauchy con $ u(0)=1 $ al variare di n.
risolvendo normalmente il problema trovo che la soluzione è $ u(t)= tg(t^2/(n2)+pi/4) $ ma la n non capisco come possa influire sulla risoluzione...e dato che si richiede di risolverlo al variare di n vuol dire che ho sbagliato qualcosa e tralasciato qualche elemento importante.
gli altri punti richiedono di dimostrare la convergenza puntuale in [0,1] e la convergenza uniforme......due argomenti che non ho ancora capito alla perfezione....
qualcuno può aiutarmi?
risolvendo normalmente il problema trovo che la soluzione è $ u(t)= tg(t^2/(n2)+pi/4) $ ma la n non capisco come possa influire sulla risoluzione...e dato che si richiede di risolverlo al variare di n vuol dire che ho sbagliato qualcosa e tralasciato qualche elemento importante.
gli altri punti richiedono di dimostrare la convergenza puntuale in [0,1] e la convergenza uniforme......due argomenti che non ho ancora capito alla perfezione....
qualcuno può aiutarmi?
Risposte
E perché di grazia ti sembra che $n$ non influisca? Al variare di $n$ le soluzioni (seppur in maniera non evidentissima) cambiano, per cui quella che hai trovato è una successione di funzioni $u_n(t)$. A questo punto il resto dell'esercizio non avrebbe senso se, come affermi, la dipendenza da $n$ fosse superflua. Tra l'altro, le funzioni non sono neanche periodiche, per cui le cose variano anche abbastanza.
si scusa mi sono espresso male: ovvio che al variare di n la funzione cambia ma non influisce sul'algoritmo di risoluzione della equazione differenziale (non so se mi sono spiegato).
poi affermi che le funzioni non sono periodiche ma la tg è periodica
poi affermi che le funzioni non sono periodiche ma la tg è periodica
$ u(t)= tg(t^2/(n2)+pi/4) $poi mi chiede di dimostrare che converge puntualmente solo in [0,1] ma $ lim_(n rightarrow +oo)tg(t^2/(n2)+π/4)=1 " "forallt $
Una funzione è periodica se esiste $T>0$ tale che $f(x+T)=f(x),\ \forall\ x$. Vediamo se esiste per la funzione:
$$\tan\left(\frac{(t+T)^2}{2n}+\frac{\pi}{4}\right)=\tan\left(\frac{t^2}{2n}+\frac{\pi}{4}+\frac{2tT+T^2}{2n}\right)=\tan\left(\frac{t^2}{2n}+\frac{\pi}{4}\right)$$
Se indichiamo con $y=\frac{t^2}{2n}+\frac{\pi}{4},\ P=\frac{2tT+T^2}{2n}$ possiamo riscrivere la precedente come
$$\tan(y+P)=\tan y$$
da cui si deduce che $P=\pi$, cioè $2tT+T^2=2nP$. Tale equazione, tuttavia, non amette soluzioni costanti per $T$ (esse dipenderanno sempre da $t$) e quindi il periodo non esiste.
Poi, tu secondo me devi riguardarti il vocabolario. Non ti dice "Dimostrare che converge puntualmente solo in $[0,1]$", ma ti si richiede di dimostrare che in $[0,1]$ converga puntualmente (poi magari lo fa anche in $(\log 765, 567^{879})$, machissene?) e di verificare come si comporta la convergenza uniforme in tale intervallo.
Impara a leggere e comprendere per bene le tracce degli esercizi.
$$\tan\left(\frac{(t+T)^2}{2n}+\frac{\pi}{4}\right)=\tan\left(\frac{t^2}{2n}+\frac{\pi}{4}+\frac{2tT+T^2}{2n}\right)=\tan\left(\frac{t^2}{2n}+\frac{\pi}{4}\right)$$
Se indichiamo con $y=\frac{t^2}{2n}+\frac{\pi}{4},\ P=\frac{2tT+T^2}{2n}$ possiamo riscrivere la precedente come
$$\tan(y+P)=\tan y$$
da cui si deduce che $P=\pi$, cioè $2tT+T^2=2nP$. Tale equazione, tuttavia, non amette soluzioni costanti per $T$ (esse dipenderanno sempre da $t$) e quindi il periodo non esiste.
Poi, tu secondo me devi riguardarti il vocabolario. Non ti dice "Dimostrare che converge puntualmente solo in $[0,1]$", ma ti si richiede di dimostrare che in $[0,1]$ converga puntualmente (poi magari lo fa anche in $(\log 765, 567^{879})$, machissene?) e di verificare come si comporta la convergenza uniforme in tale intervallo.
Impara a leggere e comprendere per bene le tracce degli esercizi.
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