Successione di funzioni (definizione)

[Seneca1]

Mi trovo a ragionare sulla seguente definizione di successione di funzioni uniformemente convergente:

Definizione: [tex]$\{f_n\}$[/tex] - con [tex]$f_n : A \to \mathbb{R}$[/tex] , [tex]$\forall n \in \mathbb{N}$[/tex] - converge uniformemente a [tex]$f$[/tex] se valgono le seguenti condizioni:

1) [tex]$\sup_A | f_n - f | < +\infty$[/tex] , [tex]$\forall n$[/tex];

2) [tex]$\lim_n \sup_A | f_n - f | = 0$[/tex].

Vorrei capire l'utilità della condizione 1). Potrebbe essere rimpiazzata equivalentemente dall'ipotesi che [tex]$f_n$[/tex] converga puntualmente a [tex]$f$[/tex]?

[dissonance]

Mah. Perché quella condizione 1)...? Si può togliere senza fallo, direi. Tanto, se poi la successione dei $"sup"$ deve convergere, di sicuro da un certo indice in poi dovrà essere finita. Probabilmente l'autore ha lasciato quella condizione per compatibilità con qualcosa detto in precedenza, oppure perché non tollera che in una successione numerica qualche termine possa essere infinito.

[Seneca1]

"dissonance":Mah. Perché quella condizione 1)...? Si può togliere senza fallo, direi. Tanto, se poi la successione dei $"sup"$ deve convergere, di sicuro da un certo indice in poi dovrà essere finita. Probabilmente l'autore ha lasciato quella condizione per compatibilità con qualcosa detto in precedenza, oppure perché non tollera che in una successione numerica qualche termine possa essere infinito.

Lo sospettavo. Infatti il Rudin (l'altro testo che ho consultato) dà la condizione 2) come teorema, supponendo in più nelle ipotesi che si abbia [tex]$\lim_n f_n (x) = f(x)$[/tex], cosa che l'autore del testo da cui ho estratto quella definizione non fa.

Grazie.

[dissonance]

Va bene, ma se $"sup"_{x \in A}|f_n(x)-f(x)| \to 0$ allora in particolare $|f_n(x_0)-f(x_0)|\to 0$ per ogni $x_0 \in A$. Quindi ancora una volta stai aggiungendo qualcosa di ridondante alla tua definizione.

[Rigel1]

La definizione riportata nel primo post è sbagliata (nel senso che non è conforme a quella usualmente accettata dai matematici), a meno che in 1) non si intenda "definitivamente in $n$".
E' vero che il Rudin richiede inizialmente la convergenza puntuale, ma secondo me lo fa solo per dire chi è $f$ (il limite puntuale) e per sottolineare il fatto che se non c'è convergenza puntuale è inutile andare a vedere se c'è convergenza uniforme.

[Seneca1]

E' chiaro, grazie ad entrambi.