Successione di funzioni, convergenza uniforme
Salve, stavo svolgendo questo esercizio e ho dei dubbi sulla convergenza uniforme:
Sia $f_n:[0,+infty)->R$ definita da
$f_n(x)=log((x+n)^n/(n^n)),$
$ n=1,2,3...$
studia
1) convergenza puntuale in $[0,+infty)$
2) convergenza uniforme in in $[0,+infty)$
3) convergenza uniforme in in $[0,5]$
La successione converge puntualmente a $f(x)=loge^x=x$ per ogni $x in[0,+infty)$
Ora per la convergenza uniforme devo verificare se
$ Sup {|f_n-f| : x in[0,+infty)}=0 $
$ (n->infty)$
Allora studio $g_n(x)=log((x+n)^n/(e^xn^n))$ e trovo $g'_n(x)=((e^xn^n)/(x+n)^n)((n(x+n)^(n-1))((n^n)e^x)-((x+n)^n((n^n)e^x)))/((n^n)e^x)^2=(n/(n+x)-1)$ e trovo che la funzione è sempre decrescente per cui il massimo è in $0$
andandolo a sostituire in $g_n(x)$ trovo 0 e quindi la convergenza uniforme dovrebbe essere verificata.
Però ho provato con un altro metodo e ottengo:
se considero una successione $1/n$ che converge uniformemente e che converge puntualmente ad x=0 , che appartiene all'intervallo di definizione delle $f_n$, se calcolo $f_n(1/n)$ questo è diverso dal limite puntuale della funzione, cioè $f(x)=x$ perciò non c'è convergenza uniforme.
Per maggiorazioni non saprei come procedere, essendo $f_n:[0,+infty)->R$, $x>=0$, sicuramente $(x+n)^n>=n^n$ però non saprei come usarlo.
Cosa sbaglio?
Sia $f_n:[0,+infty)->R$ definita da
$f_n(x)=log((x+n)^n/(n^n)),$
$ n=1,2,3...$
studia
1) convergenza puntuale in $[0,+infty)$
2) convergenza uniforme in in $[0,+infty)$
3) convergenza uniforme in in $[0,5]$
La successione converge puntualmente a $f(x)=loge^x=x$ per ogni $x in[0,+infty)$
Ora per la convergenza uniforme devo verificare se
$ Sup {|f_n-f| : x in[0,+infty)}=0 $
$ (n->infty)$
Allora studio $g_n(x)=log((x+n)^n/(e^xn^n))$ e trovo $g'_n(x)=((e^xn^n)/(x+n)^n)((n(x+n)^(n-1))((n^n)e^x)-((x+n)^n((n^n)e^x)))/((n^n)e^x)^2=(n/(n+x)-1)$ e trovo che la funzione è sempre decrescente per cui il massimo è in $0$
andandolo a sostituire in $g_n(x)$ trovo 0 e quindi la convergenza uniforme dovrebbe essere verificata.
Però ho provato con un altro metodo e ottengo:
se considero una successione $1/n$ che converge uniformemente e che converge puntualmente ad x=0 , che appartiene all'intervallo di definizione delle $f_n$, se calcolo $f_n(1/n)$ questo è diverso dal limite puntuale della funzione, cioè $f(x)=x$ perciò non c'è convergenza uniforme.
Per maggiorazioni non saprei come procedere, essendo $f_n:[0,+infty)->R$, $x>=0$, sicuramente $(x+n)^n>=n^n$ però non saprei come usarlo.
Cosa sbaglio?
Risposte
Scusa come fai a calcolare il limite puntuale di $f_n(1/n)$ se l'argomento varia? Non è puntuale...
Avevo usato la proprietà per cui considero $x_n->x$, se $f_n$ convergesse uniformemente a $f(x)$ allora
$ lim_(n -> infty) f_n(x_n)=f(x)=log(e^x) $, dove $x_n$ converge ad una $x$ dell'intervallo, in questo caso 0..è sbagliato?
Quindi la via dello studio della derivata $g_n(x)=|f_n-f| $ è giusta? Dal numeratore trovo $x<0$ e dato che sono in $[0, +infty)$ $g_n$ è decrescente è il massimo è in $0$?
$ lim_(n -> infty) f_n(x_n)=f(x)=log(e^x) $, dove $x_n$ converge ad una $x$ dell'intervallo, in questo caso 0..è sbagliato?
Quindi la via dello studio della derivata $g_n(x)=|f_n-f| $ è giusta? Dal numeratore trovo $x<0$ e dato che sono in $[0, +infty)$ $g_n$ è decrescente è il massimo è in $0$?
Viene $0$ il limite, quindi ok
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