Successione di funzioni, convergenza non uniforme

[Seneca1]

Studiare la convergenza uniforme della successione

$f_k (x) = (sin(k x))/(sqrt(k) * x )$ , con $x in (0,+oo)$ e $k >= 1$.

$f_k -> 0$ puntualmente. Vorrei mostrare che $f_k$ non converge uniformemente alla funzione identicamente nulla in $(0,+oo)$ cioè devo provare che:

$EE epsilon_0 > 0 : AA k in NN - {1} , EE bar k_k , EE x_k in (0,+oo)$ tale che $|f_k - f| >= epsilon_0$

Definisco $x_k = 1/k in (0,+oo)$ , $AA k$. Allora $|f_k - f| = sin(1) * sqrt(k) >= epsilon_0$. Quindi $ epsilon_0$ lo prendo uguale a $sin(1)$ ed ho concluso.

Secondo voi va bene?

[Seneca1]

Inoltre posso dire che $f_k$ converge uniformemente in $[R , +oo)$, $AA R > 0$, poiché:

$| f_k | <= 1/(sqrt(k) * x) = g_k$

$AA k in NN$, $g_k$ è una funzione decrescente e quindi $"sup"_(x in [R, +oo) ) g_k = 1/(sqrt(k) * R)$, ed avendo che $1/(sqrt(k) * R) -> 0$ per $ k -> +oo$, ho che $f_k$ converge uniformemente su $[R, +oo)$.

[gugo82]

Corretto.

[Seneca1]

Ti ringrazio!