Successione di funzioni
Ho questo problema: Vedere la convergenza puntuale della successione e vedere se in A insieme di convergenza puntuale e in $B=[2,3]$ converge assolutamente
La successione è $f_n=((x-1/n)^2+1)e^(-n(x+1))$
Allora ho fatto il limite:
$lim_(n-> oo ) f_n(x)= { ( 2 , x=-1 ),( 0 , x> -1 ),( oo , x<-1 ):} $
Quindi la funzione limite puntuale è:
$ f(x)={ ( 2 , x=-1 ),( 0 , x> -1 ):} $ e l'insieme di convergenza puntuale è $A=[-1, oo )$
Adesso per la convergenza uniforme in A dico che non converge perchè $f$ non è continua in $x=-1$
Per la convergenza uniforme in $B$ posso usare la definizione e quindi fare il sup, però non so come devo fare
Mi aiutate please?!
La successione è $f_n=((x-1/n)^2+1)e^(-n(x+1))$
Allora ho fatto il limite:
$lim_(n-> oo ) f_n(x)= { ( 2 , x=-1 ),( 0 , x> -1 ),( oo , x<-1 ):} $
Quindi la funzione limite puntuale è:
$ f(x)={ ( 2 , x=-1 ),( 0 , x> -1 ):} $ e l'insieme di convergenza puntuale è $A=[-1, oo )$
Adesso per la convergenza uniforme in A dico che non converge perchè $f$ non è continua in $x=-1$
Per la convergenza uniforme in $B$ posso usare la definizione e quindi fare il sup, però non so come devo fare
Mi aiutate please?!
Risposte
Poiché, per ogni $n\in NN$,
$0 < (x-\frac{1}{n})^2+1 \le 10$ e $0 < e^{-n(x+1)}\le e^{-3n}$ per ogni $x\in [2,3]$, hai subito che
$0 < f_n(x) -f(x) \le 10 e^{-3n}$ per ogni $x\in [2,3]$.
$0 < (x-\frac{1}{n})^2+1 \le 10$ e $0 < e^{-n(x+1)}\le e^{-3n}$ per ogni $x\in [2,3]$, hai subito che
$0 < f_n(x) -f(x) \le 10 e^{-3n}$ per ogni $x\in [2,3]$.
Scusa ma non ho capito cosa hai fatto!!!!
Se $2 \le x \le 3$, allora
$(x-1/n)^2 \le (3-1/n)^2 < 3^2 = 9$, e
$x+1 \ge 3$, da cui $-n(x+1) \le -3n$.
$(x-1/n)^2 \le (3-1/n)^2 < 3^2 = 9$, e
$x+1 \ge 3$, da cui $-n(x+1) \le -3n$.
Ma se io faccio il sup della mia successione, sostituisco 3 a x e faccio il limite va bene?
Se vuoi, per ogni $n\in NN$ fissato, puoi anche calcolare il sup di $f_n$ in $[2,3]$ (sup che in realtà è un massimo per il teorema di Weierstrass).
In effetti puoi verificare che risulta $f'_n(x) \le 0$ per ogni $x$, quindi hai che
$\epsilon_n := \max\{f_n(x): 2\le x\le 3\} = f_n(2) = ((2-1/n)^2+1) e^{-3n}$.
Poiché $\max\{|f_n(x)-f(x)|: 2\le x\le 3\} = \epsilon_n \to 0$ per $n\to+\infty$, la convergenza è uniforme.
Con le stime che ti avevo indicato prima eviti di dover calcolare la derivata per determinare il massimo di $f_n$.
In effetti puoi verificare che risulta $f'_n(x) \le 0$ per ogni $x$, quindi hai che
$\epsilon_n := \max\{f_n(x): 2\le x\le 3\} = f_n(2) = ((2-1/n)^2+1) e^{-3n}$.
Poiché $\max\{|f_n(x)-f(x)|: 2\le x\le 3\} = \epsilon_n \to 0$ per $n\to+\infty$, la convergenza è uniforme.
Con le stime che ti avevo indicato prima eviti di dover calcolare la derivata per determinare il massimo di $f_n$.
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