Successione di funzioni

[BASS.TONI]

salve.ho questo esercizio e non riesco proprio a capire come si svolge.

Data la successione di funzioni reali (fn) definite in R mediante la legge

$f_1(x) = arctg x / \pi + 1/2 $

$f_(n+1) (x) = (1 + f_n(x) ) / (1+n^2) $
studiarne la convergenza puntuale e quella uniforme. grazie per l'aiuto

[dissonance]

Per queste cose non credo ci sia una ricetta sempre buona. Ci si arrangia caso per caso.

Un'idea per cominciare: la $f_1$ è una funzione limitata, e su questo saremo d'accordo. La $f_2$ si ottiene dalla $f_1$ aggiungendo $1$ e dividendo per $5$. Ancora una funzione limitata e inoltre un uccellino ci suggerisce che $||f_2||_infty<||f_1||_infty$.

La stessa macchinetta si applica ad $f_2$ per generare $f_3$: aggiungi $1$ e dividi per $10$. Vuoi vedere che $||f_n||_inftyto0$? Questo concluderebbe l'esercizio.

[BASS.TONI]

avevo anchio ragionato così,ma pensavo che ci fosse un metodo da applicare sempre.

[gugo82]

Fatto molto ad occhio...

La $f_1$ è non negativa ed ha $||f_1||_oo=1$; la regola iterativa ti consente di provare, per induzione, che ogni $f_(n+1)$ è non negativa e che risulta:

$||f_(n+1)||_oo=(1+||f_n||_oo)/(1+n^2) \quad$ per ogni $n>=1$;

in questo modo, la successione $a_n=||f_n||_oo$ risulta definita per ricorrenza dalle relazioni:

$\{(a_(n+1)=(1+a_n)/(1+n^2)),(a_1=1):}$

e non ti dovrebbe essere difficile determinarne il carattere.