Successione di funzioni
La successione é:
$f_n(x)=(2e^(nx))/(1+n^2x^2)
Sono ancora alle prime armi con questi esercizi quindi ho molti dubbi. Vi dico come l'ho fatta io, mi servirebbe sapere se ho proceduto nella maniera corretta.
Ho calcolato la funzione limite che vale:
$f(x)={(0,if x<0), (2, if x=0), (+infty,if x>0):}$
Quindi converge puntualmente $AA x in ]-infty, 0]$
Qui ho il primo dubbio. La funzione limite non è continua. Questo basta per dire che non converge uniformemente? Cioè l'esercizio finisce qua?
Io cmq ho proseguito, studiando la convergenza uniforme.
In $x=0$ la funzione converge uniformemente e non c'è nulla da dimostrare.
Quando $x in ]-infty, 0[$ , dopo aver studiato la derivata ottengo che:
${::}_"sup"|f_n(x)-f(x)|=2$
Infatti in $ ]-infty, 0[$ $f(x)=0$, quindi basta studiare il sup della $f_n(x)$; questa funzione è sempre crescente in $ ]-infty, 0[$, quindi il suo sup è:
$f_n(0)=2$
Che non tende a 0, quindi non converge uniformemente n $ ]-infty, 0[$.
Ma scelto $x in ]-infty, k]$ con $ -infty
Che dite?
$f_n(x)=(2e^(nx))/(1+n^2x^2)
Sono ancora alle prime armi con questi esercizi quindi ho molti dubbi. Vi dico come l'ho fatta io, mi servirebbe sapere se ho proceduto nella maniera corretta.
Ho calcolato la funzione limite che vale:
$f(x)={(0,if x<0), (2, if x=0), (+infty,if x>0):}$
Quindi converge puntualmente $AA x in ]-infty, 0]$
Qui ho il primo dubbio. La funzione limite non è continua. Questo basta per dire che non converge uniformemente? Cioè l'esercizio finisce qua?
Io cmq ho proseguito, studiando la convergenza uniforme.
In $x=0$ la funzione converge uniformemente e non c'è nulla da dimostrare.
Quando $x in ]-infty, 0[$ , dopo aver studiato la derivata ottengo che:
${::}_"sup"|f_n(x)-f(x)|=2$
Infatti in $ ]-infty, 0[$ $f(x)=0$, quindi basta studiare il sup della $f_n(x)$; questa funzione è sempre crescente in $ ]-infty, 0[$, quindi il suo sup è:
$f_n(0)=2$
Che non tende a 0, quindi non converge uniformemente n $ ]-infty, 0[$.
Ma scelto $x in ]-infty, k]$ con $ -infty
Che dite?
Risposte
Buone la prima parte, sulla convergenza puntuale, e l'ultima parte, sullo studio della convergenza uniforme in $]-oo,0[$ e in $]-oo,k]$.
Due appunti: 1) di solito si parla di convergenza uniforme in insiemi che non si riducono ad un numero finito di punti, quindi la convergenza uniforme nel solo $0$ non è granché interessante; 2) la funzione limite si prende (quasi sempre) a valori reali e si evita (quasi sempre) di mettere $pm oo$ tra i valori assunti dal limite.
Un'altra cosa: ovviamente la continuità del limite di una successione di funzioni continue è condizione necessaria alla uniforme convergenza, quindi il tuo ragionamento sull'impossibilità di riscontrare convergenza uniforme in $]-oo,0]$ è corretto.
Due appunti: 1) di solito si parla di convergenza uniforme in insiemi che non si riducono ad un numero finito di punti, quindi la convergenza uniforme nel solo $0$ non è granché interessante; 2) la funzione limite si prende (quasi sempre) a valori reali e si evita (quasi sempre) di mettere $pm oo$ tra i valori assunti dal limite.
Un'altra cosa: ovviamente la continuità del limite di una successione di funzioni continue è condizione necessaria alla uniforme convergenza, quindi il tuo ragionamento sull'impossibilità di riscontrare convergenza uniforme in $]-oo,0]$ è corretto.
"Gugo82":
ovviamente la continuità del limite di una successione di funzioni continue è condizione necessaria alla uniforme convergenza, quindi il tuo ragionamento sull'impossibilità di riscontrare convergenza uniforme in $]-oo,0]$ è corretto.
Ma questo perchè? In realtà io non ci avevo minimamente pensato, mi sono accorto di questa considerazione solo sfogliando gli esercizi svolti, e ancora non me la spiego. >.>
Quindi in definitiva, dovendo rispondere alla domanda "Dove la succ di funzioni converge uniformemente" cosa si dovrebbe rispondere? Lo 0 si dice o no?
Un'ultima cosa: in generale, quando la funzione limite assume diversi valori in diversi intervalli, si studia il sup di $|f_n(x)-f(x)|$ per ognuno di questi intervalli?
Vale il teorema di continuità del limite:
Detta in altre parole, se una successione di funzioni continue converge uniformemente, il limite è continuo.
Negando la precedente proposizione trovi "Se il limite di una successione di funzioni continue non è continuo, allora la convergenza non è uniforme".
La risposta alla tua domanda è: "la successione converge puntualmente ma non uniformemente in $]-oo,0]$; tuttavia la successione converge uniformemente in ogni semiretta del tipo $]-oo,k]$ con $k<0$ (e quindi anche in ogni compatto di $]-oo,0[$)".
Siano $(f_n)$ una successione di funzioni da uno spazio topologico $X$ in $RR$ ed $f:Xto RR$.
Se le $f_n$ sono continue e se $f_n\to f$ uniformemente in $X$, allora $f$ è continua.
Detta in altre parole, se una successione di funzioni continue converge uniformemente, il limite è continuo.
Negando la precedente proposizione trovi "Se il limite di una successione di funzioni continue non è continuo, allora la convergenza non è uniforme".
La risposta alla tua domanda è: "la successione converge puntualmente ma non uniformemente in $]-oo,0]$; tuttavia la successione converge uniformemente in ogni semiretta del tipo $]-oo,k]$ con $k<0$ (e quindi anche in ogni compatto di $]-oo,0[$)".
Ahhh ma certo, il teorema di continuità del limite. 
Grazie. Dovresti solo risolvere il mio ultimo dubbio
Grazie. Dovresti solo risolvere il mio ultimo dubbio
Mi dovresti spiegare cosa intendi... Fai un esempio.
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