Successione di funzioni
Salve a tutti, rieccomi con la richiesta di un ulteriore chiarimento sulle convergenze..
sia $f_n(x) = (x^2-n)/(x^2+n)$ una successione di funzioni, determinarne l'insieme di convergenza semplice, stabilire quindi se la convergenza è ivi uniforme..
il mio ragionamento è stato
$lim_(n->oo) (x^2-n)/(x^2+n) = -1, AA x in RR$
dunque $f_n(x)$ converge semplicemente su tutto $RR$.
Per quanto riguarda la convergenza uniforme ho osservato che, comunque fissato $x in RR$, $-1<=f_n(x)<1$, $AA n in NN$, in particolare
ho un punto minimo in $(0,-1)$ $AA n in NN$...qui mi fermo...era la strada giusta? cosa posso osservare ancora?
sia $f_n(x) = (x^2-n)/(x^2+n)$ una successione di funzioni, determinarne l'insieme di convergenza semplice, stabilire quindi se la convergenza è ivi uniforme..
il mio ragionamento è stato
$lim_(n->oo) (x^2-n)/(x^2+n) = -1, AA x in RR$
dunque $f_n(x)$ converge semplicemente su tutto $RR$.
Per quanto riguarda la convergenza uniforme ho osservato che, comunque fissato $x in RR$, $-1<=f_n(x)<1$, $AA n in NN$, in particolare
ho un punto minimo in $(0,-1)$ $AA n in NN$...qui mi fermo...era la strada giusta? cosa posso osservare ancora?
Risposte
Per la convergenza uniforme di basta trovare il sup (per $x \in \mathbb{R}$) di $|f_n(x) + 1| = \frac{2 x^2}{x^2 + n}$ (basta fare la derivata) e vedere se tende o meno a zero per $n \to +\infty$...
grazie mille Tipper! non avevo fatto caso al discorso del valore assoluto, mi disorentava il fatto di avere un minimo anziché un massimo..ma in effetti quello che cerco è di racchiudere la successione in una striscia infinitesima..e qui riesco a farlo..
grazie mille!
grazie mille!
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