Successione di funzioni
Ho da verificare la convergenza uniforme di
$f_n(x) = (x + e^((n+1)x))/e^(nx) \quad$ con $\quad x \in I = [0;+\infty[$
Facendo i conti mi trovo che $f_n(x)$ converge puntualmente a $f(x) = e^x$ in $I$ e che
$lim_{n \to +\infty} Sup |f_n(x) - f(x)| = 1 \ne 0$
Dove sbaglio ?
$f_n(x) = (x + e^((n+1)x))/e^(nx) \quad$ con $\quad x \in I = [0;+\infty[$
Facendo i conti mi trovo che $f_n(x)$ converge puntualmente a $f(x) = e^x$ in $I$ e che
$lim_{n \to +\infty} Sup |f_n(x) - f(x)| = 1 \ne 0$
Dove sbaglio ?
Risposte
Spero di non dire una boiata, ma a me pare che $"sup"_{x \in [0, +\infty)} |f_n(x) - f(x)| = \frac{1}{n e}$... Facendo la derivata di $x e^{-nx}$ e azzerandola trovo un massimo in $x = \frac{1}{n}$...
E poi facendo $lim_(n rarr oo) (1/(n*e))$ si vede che va ... e quindi la convergenza è puntuale e ..
"Tipper":
Spero di non dire una boiata, ma a me pare che $"sup"_{x \in [0, +\infty)} |f_n(x) - f(x)| = \frac{1}{n e}$... Facendo la derivata di $x e^{-nx}$ e azzerandola trovo un massimo in $x = \frac{1}{n}$...
OPS!
Mi sono appena accorto che andavo a sostituire $x = 1/n$ in $f_n(x)$ invece che in $f_n(x) - f(x)$
Grazie mille
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