Successione di Funzioni
ciao a tutti! sareste in grado di aiutarmi nel calcolo della convergenza puntuale di questa successione di funzioni?
$ f_n(x)=x*e^x(1+x*(n+1)/(e^(x*(n+1)))) $
il vero ostacolo sta nel calcolarne il limite per $ n to oo $
come posso fare? grazie
$ f_n(x)=x*e^x(1+x*(n+1)/(e^(x*(n+1)))) $
il vero ostacolo sta nel calcolarne il limite per $ n to oo $
come posso fare? grazie
Risposte
Si tratta solo di calcolare il limite di $(n+1)/(e^(nx))$ alla fin fine. Prova a capire che succede quando $x$ è positivo o negativo.
$ per x>0 -> lim_{n to oo}(n+1)/e^(nx)=0 $
$ per x<0 -> lim_{n to oo}(n+1)/e^(nx)=+oo $
$ per x=0 -> lim_{n to oo}(n+1)/e^(nx)=+oo $
l'insieme di convergenza puntuale risulta quindi essere $ [0,+oo) $ ,è corretto?
$ per x<0 -> lim_{n to oo}(n+1)/e^(nx)=+oo $
$ per x=0 -> lim_{n to oo}(n+1)/e^(nx)=+oo $
l'insieme di convergenza puntuale risulta quindi essere $ [0,+oo) $ ,è corretto?
giusto 
e la convergenza uniforme?
il limite del Sup non tende a zero nell'insieme di convergenza puntuale
esistono altri insiemi?
il limite del Sup non tende a zero nell'insieme di convergenza puntuale
esistono altri insiemi?
Puoi provare sui limitati.
Credo (non ci giuro sono anche un pò stanco) che se l'insieme di convergenza puntuale non è chiuso è difficile aspettarsi la convergenza uniforme...
"Luca.Lussardi":
Puoi provare sui limitati.
cosa intendi per limitati?
"zorn":
Credo (non ci giuro sono anche un pò stanco) che se l'insieme di convergenza puntuale non è chiuso è difficile aspettarsi la convergenza uniforme...
fatto bene a non giurarci
Per un esempio specifico, rinvio all'altro post:
https://www.matematicamente.it/f/viewtop ... 255#164255
Per limitati intendo gli intervalli della forma $[0,a]$ o $[0,a)$ (tanto è lo stesso ai fini della convergenza uniforme visto che le funzioni sono continue). L'importante è che $a \in \RR$.
e come trovo quel limite entro cui ho convergenza uniforme?
lo scelgo solo in base a ciò che mi annulla la f?
lo scelgo solo in base a ciò che mi annulla la f?
No, io dicevo di controllare se hai convergenza uniforme sugli intervalli della forma $[0,a]$, con $a \in \RR$. La definizione è sempre la stessa, ma stavolta il sup lo devi fare su $[0,a]$ e non su $[0,+\infty)$.
si, ma non mi è chiaro in che modo scegliere l'estremo "a"
per fare il sup devo definirlo a priori, no?
per fare il sup devo definirlo a priori, no?
Non devi scegliere nessun $a$, basta che calcoli il sup su $[0,a]$ e vedere se per caso esiste un valore di $a$ tale per cui tale sup tende a $0$.
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