Successione di funzioni
Salve, ho svolto questo esercizio e vorrei sapere se le mie considerazioni sulla convergenza uniforme sono giuste:
$f_n(x)=(nx^2+x)/(n+1)$
1) convergenza puntuale in $R$
2) convergenza uniforme in $R$
3)convergenza uniforme in $[0,1]$
1)Il limite puntuale è $f(x)=x^2$
2) Devo valutare $ lim_(n -> +infty) Sup_(x in R)|f_n-f|=Sup_(x in R)|(x-x^2)/(n+1)| $
Procedendo per maggiorazioni noto che
$|(x-x^2)/(n+1)|<=|x|/(n+1)+x^2/(n+1)=x/(n+1)(1+x)$ perciò in $R$ il sup è +infinito e non c'è convergenza uniforme.
3)In $[0,1]$ posso omettere il modulo e dato che l'argomento qui è positivo studio direttamente la derivata di $g_n=f_n-f$ cioè $g'_n=(1-2x)/(n+1)$ che ha massimo in $1/2$, $g_n(1/2)=1/(4(n+1))->0 $ se $n->+infty$
in $[0,1]$ la convergenza è uniforme. E' corretto?
$f_n(x)=(nx^2+x)/(n+1)$
1) convergenza puntuale in $R$
2) convergenza uniforme in $R$
3)convergenza uniforme in $[0,1]$
1)Il limite puntuale è $f(x)=x^2$
2) Devo valutare $ lim_(n -> +infty) Sup_(x in R)|f_n-f|=Sup_(x in R)|(x-x^2)/(n+1)| $
Procedendo per maggiorazioni noto che
$|(x-x^2)/(n+1)|<=|x|/(n+1)+x^2/(n+1)=x/(n+1)(1+x)$ perciò in $R$ il sup è +infinito e non c'è convergenza uniforme.
3)In $[0,1]$ posso omettere il modulo e dato che l'argomento qui è positivo studio direttamente la derivata di $g_n=f_n-f$ cioè $g'_n=(1-2x)/(n+1)$ che ha massimo in $1/2$, $g_n(1/2)=1/(4(n+1))->0 $ se $n->+infty$
in $[0,1]$ la convergenza è uniforme. E' corretto?
Risposte
Solo una cosa: nel punto (2), per dire che le norme sono infinite, devi stimarle dal basso e non dall'alto. Ad esempio potresti usare l'altra disuguaglianza triangolare e ottenere $|x-x^2|>=||x|-x^2|$, che al variare di $x$ è arbitrariamente grande, e con questo si conclude.
Grazie mille
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