Successione di funzioni
Salve, ho svolto questo esercizio ma ho dei dubbi sulla convergenza uniforme:
$f_n(x)=sen(((n+1)x)/n)$
dopo aver valutato la convergenza puntuale devo studiare la convergenza uniforme in $[0,2pi]$ e in $R$.
il limite puntuale è $ lim_(n-> infty) f_n(x)=senx $ allora considero
$Sup{|f_n-f| t.c. x in [0,2pi]}$
$g_n(x)=sen(((n+1)x)/n)-senx$
$|g_n|$ è crescente se $g_n$ è positiva, decrescente altrimenti. Da subito non riesco a capire l'andamento, nemmeno derivando, allora procedo per maggiorazioni:
$|sen(((n+1)x)/n)-senx|<=|sen(((n+1)x)/n)|+|senx|<=|(n+1)x/n |+|x|$ che è una quantità che cresce al crescere di x, perciò il sup si ha in $[0,2pi]$ per:
$Sup|g_n(x)|=(n+1)2pi/n +2pi$ perciò non c'è convergenza uniforme.
Anche in $R$ la convergenza uniforme non ci può essere perchè il sup sarebbe infinito. Questo ragionamento non mi convince al 100% e vorrei sapere se ci sono altre considerazioni da fare e in generale quando la $g_n$ ha quell'espressione come dovrei procedere?
Sarebbe più giusto considerare che
$sen(((n+1)x)/n)>=senx$ perciò $|g_n|$ è crescente, il sup lo valuto per $x=2pi$ e allora c'è convergenza uniforme?
$f_n(x)=sen(((n+1)x)/n)$
dopo aver valutato la convergenza puntuale devo studiare la convergenza uniforme in $[0,2pi]$ e in $R$.
il limite puntuale è $ lim_(n-> infty) f_n(x)=senx $ allora considero
$Sup{|f_n-f| t.c. x in [0,2pi]}$
$g_n(x)=sen(((n+1)x)/n)-senx$
$|g_n|$ è crescente se $g_n$ è positiva, decrescente altrimenti. Da subito non riesco a capire l'andamento, nemmeno derivando, allora procedo per maggiorazioni:
$|sen(((n+1)x)/n)-senx|<=|sen(((n+1)x)/n)|+|senx|<=|(n+1)x/n |+|x|$ che è una quantità che cresce al crescere di x, perciò il sup si ha in $[0,2pi]$ per:
$Sup|g_n(x)|=(n+1)2pi/n +2pi$ perciò non c'è convergenza uniforme.
Anche in $R$ la convergenza uniforme non ci può essere perchè il sup sarebbe infinito. Questo ragionamento non mi convince al 100% e vorrei sapere se ci sono altre considerazioni da fare e in generale quando la $g_n$ ha quell'espressione come dovrei procedere?
Sarebbe più giusto considerare che
$sen(((n+1)x)/n)>=senx$ perciò $|g_n|$ è crescente, il sup lo valuto per $x=2pi$ e allora c'è convergenza uniforme?
Risposte
Formula di prostaferesi: $sin alpha - sin beta = 2 cos((alpha + beta)/2) sin((alpha - beta)/2)$. 
Non capisco come usarla, dato che dalla derivata di $g_n(x)$ ottengo
$((1 + n) cos((1 + 1/n) x))/n-cos(x) $ e non so come gestire il termine $(1+n)/n$
scrivendo direttamnte $g_n$ con le formule di prostaferesi ho
$g_n(x)=2cos((2nx+x)/(2n))sen(x/2n)$
$g'_n=(1/n)cos((2n+1)/(2n)x)cos(x/2n)-sen((2n+1)/(2n)x)sen(x/2n)(2n+1)/n$
$((1 + n) cos((1 + 1/n) x))/n-cos(x) $ e non so come gestire il termine $(1+n)/n$
scrivendo direttamnte $g_n$ con le formule di prostaferesi ho
$g_n(x)=2cos((2nx+x)/(2n))sen(x/2n)$
$g'_n=(1/n)cos((2n+1)/(2n)x)cos(x/2n)-sen((2n+1)/(2n)x)sen(x/2n)(2n+1)/n$
Maggiorati $|g_n|$ senza usare le derivate.
In particolare tieni presente che $|cos t |<= 1$ e che $|sin t |<= |t|$.
In particolare tieni presente che $|cos t |<= 1$ e che $|sin t |<= |t|$.
Ah ok grazie, quindi la maggiorazione che ho usato prima è sbagliata..Con prostaferesi trovo che in $[0,2pi]$
$|g_n(x)|=|2cos((2nx+x)/(2n))sen(x/(2n))|<=|2(x/(2n))|=|x|/n<=(2pi)/n->0$ se $n->infty$
Quindi la convergenza è uniforme nell'intervallo, in $R$ invece noto che $|x|/n$ ha come sup $+infty$ perciò non c'è convergenza uniforme?
Il procedimento usato all'inizio, cioè $ |sen(((n+1)x)/n)-senx|<=|sen(((n+1)x)/n)|+|senx|<=|(n+1)x/n |+|x| $ perchè mi porta a sbagliare? Quando è lecito usare la disuguaglianza triangolare? Perchè spesso sbaglio a maggiorare in questo modo
$|g_n(x)|=|2cos((2nx+x)/(2n))sen(x/(2n))|<=|2(x/(2n))|=|x|/n<=(2pi)/n->0$ se $n->infty$
Quindi la convergenza è uniforme nell'intervallo, in $R$ invece noto che $|x|/n$ ha come sup $+infty$ perciò non c'è convergenza uniforme?
Il procedimento usato all'inizio, cioè $ |sen(((n+1)x)/n)-senx|<=|sen(((n+1)x)/n)|+|senx|<=|(n+1)x/n |+|x| $ perchè mi porta a sbagliare? Quando è lecito usare la disuguaglianza triangolare? Perchè spesso sbaglio a maggiorare in questo modo
"Valchiria":
Ah ok grazie, quindi la maggiorazione che ho usato prima è sbagliata..Con prostaferesi trovo che in $[0,2pi]$
$|g_n(x)|=|2cos((2nx+x)/(2n))sen(x/(2n))|<=|2(x/(2n))|=|x|/n<=(2pi)/n->0$ se $n->infty$
Quindi la convergenza è uniforme nell'intervallo, in $R$ invece noto che $|x|/n$ ha come sup $+infty$ perciò non c'è convergenza uniforme?
Ok.
"Valchiria":
Il procedimento usato all'inizio, cioè $ |sen(((n+1)x)/n)-senx|<=|sen(((n+1)x)/n)|+|senx|<=|(n+1)x/n |+|x| $ perchè mi porta a sbagliare?
Perché non ti consente di concludere nulla, in quanto la maggiorazione ti porta a $3|x|$, che né è infinitesima né è utile in alcun altro modo.
"Valchiria":
Quando è lecito usare la disuguaglianza triangolare?
Sempre, a patto che serva.
"Valchiria":
Perché spesso sbaglio a maggiorare in questo modo
Maggiorare è un’arte che va affinata con l’esercizio.
"Valchiria":
Il procedimento usato all'inizio, cioè $ |sen(((n+1)x)/n)-senx|<=|sen(((n+1)x)/n)|+|senx|<=|(n+1)x/n |+|x| $
Con questa disuguaglianza tu butti via il meno, che è proprio l'unica cosa da cui dipende la piccolezza del membro sinistro. Ecco perché non ti serve a niente.
P.S.: Non è questione di "lecito" o "non lecito", non vedo quali leggi ti impediscano di applicare la disuguaglianza triangolare. (Per lo meno, ancora non le hanno fatte, poi magari andando avanti così le faranno). La cosa importante è se sia utile o non utile applicarla.
Va bene, grazie mille, mi sei stato di grande aiuto 
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