Successione di funzioni

[Valchiria1]

Salve, ho svolto questo esercizio sulla convergenza di una successione e vorrei sapere se il ragionamento è corretto:

$f_n(x)=sqrtn/(1+nx^2)$

1) determinare l'insieme di convergenza puntuale A
2)si calcoli, dov'è definito, il limite puntuale di $f_n$
3) si stabilisca se è vero o falso che

$ lim_(n -> infty) int_(0)^(+infty) f_n(x) dx =int_(0)^(+infty) f(x) dx $

Valuto che $ lim_(n -> infty) f_n(x)= { ( 0 if x!=0 ),( +infty if x=0 ):} $

perciò 1) l'insieme è $A=R-{0}$
2) Il limite puntuale è $f(x)=0$
3) qui noto che l'intervallo su cui devo considerare l'integrale non solo è illimitato ma include $0$ che non appartiene all'insieme di convergenza puntuale, poi secondo il teorema del passaggio al limite sotto il segno di integrale quella uguaglianza vale se c'è convergenza uniforme, noto subito che dato che in $0$ c'è discontinuità la convergenza uniforme non c'è, studiando $f'_n$ noto che c'è convergenza uniforme in qualsiasi intervallo $[a, +infty)$ con $a>0$. Comunque, provando a calcolare

$ lim_(n -> infty) int_(0)^(+infty) f_n(x) dx= lim_(n -> infty)[ arctan(sqrtnx)]_(0) ^(+infty)=pi/2!=int_(0)^(+infty) f(x) dx =0$
quindi non è vera l'uguaglianza.
E' corretto? Imprecisioni, in particolare per il punto 3?

[gugo82]

1) Giusto.

2) Il limite è la funzione identicamente nulla in $A$.

3) La convergenza uniforme è condizione sufficiente al passaggio al limite sotto integrale, ma non certo necessaria; ciò significa che se non c'è convergenza uniforme nulla si può dire, in generale, sulla liceità del passaggio al limite (insomma, a volte si può fare, a volte no).
Nel tuo caso, mancando la convergenza uniforme, devi fare i conti "a mano" ed i conti, fatti bene, ti confermano che non si può passare al limite sotto integrale.

[Valchiria1]

Okay, grazie mille