Successione di funzioni

[rasakkandar]

Ciao a tutti, ho questa successione di funzioni: $f_n(x)=(n-x)^2/(n^2+x^2)$ di cui devo studiare la convergenza puntuale e uniforme.

Per la puntuale non ci sono problemi, perché per $nrarroo$ converge $forall x$ alla funzione limite $f:=1$.

Adesso devo studiare \(\sup_x=|g(x)|\) con $g(x):=f_n(x)-f(x)=-(2xn)/(n^2+x^2)$. Facendo un rapido studio di funzione ottengo che va a zero per $xrarr+-oo$ e che $g(0)=0$. Inoltre, la derivata è positiva per $x>n^(2/3)$.

Ora, il risultato non mi sembra corretto, perché essendo il punto di minimo infinito, la funzione dovrebbe essere decrescente su tutto l'asse reale fino a $M$ ma dato che tende a zero dovrebbe essere costante...

Se invece è corretto, cosa posso concludere sulla convergenza uniforme?

[otta96]

Puoi spiegare meglio i dubbi che hai? Perché io non ho capito bene cosa ti turba, e già che ci sei posta i calcoli con la derivata, che quel risultato non mi torna tanto.

[rasakkandar]

Ciao otta, ho trovato un errore nel calcolo della derivata, che risulta $g'(x)=-2n(n^2-x^2)/(n^2+x^2)^2$. Quindi essa è positiva se e solo se $2nx^2-2n^3>0 iff x in(-oo, -n)uu(n, +oo)$.

Dato che in un intorno dell'origine grande a piacere essendo $-n rarr -oo$ e $n rarr +oo$ la funzione è decrescente, il valore massimo assunto dalla funzione è zero, e si ha convergenza uniforme per ogni $|x|
Adesso dovrebbe essere corretto...

[otta96]

"rasakkandar":Dato che in un intorno dell'origine grande a piacere essendo $-n rarr -oo$ e $n rarr +oo$ la funzione è decrescente, il valore massimo assunto dalla funzione è zero, e si ha convergenza uniforme per ogni $|x|
La derivata ora va bene, ma l'implicazione che ho citato no, per calcolarti il massimo calcolati la funzione nei punti in cui la derivata si annulla.

[rasakkandar]

Ok, la derivata si annulla nei punti di ascissa $+-n$. Inoltre $|g(+-n)|=1$. Quindi non ho convergenza uniforme su tutto $RR$. Se mi restringo ad un intervallo del tipo $xM$ per ogni scelta di $M$, e vale un ragionamento analogo per l'asse negativo.

Come concludo che allora la funzione ha estremo nullo su intervalli di questo tipo? Non mi basta osservare che all'origine vale $0$ ed è non crescente fino a $M$?

[otta96]

Ma te devi prendere il valore assoluto, quindi anche se è decrescente quando ci metti il valore assoluto cresce.

[rasakkandar]

Hai ragione... ma quindi come caspita concludo l'esercizio?

[otta96]

In ogni intervallo limitato $[-M,-M]$ hai che definitivamente la funzione senza valore assoluto è decrescente, quindi per calcolarsi il massimo del valore assoluto basta guardare chi è più grande tra $|g(-M)|$ e $|g(M)|$.
Il caso di insiemi illimitati prova a farlo tu...