Successione di funzioni
Ciao a tutti, sto studiando la convergenza puntuale ed uniforme delle successioni di funzioni. Un argomento un po' ostico devo dire, ma interessante perchè lascia molta libertà nello svolgimento. Vorrei chiedervi un parere su una risoluzione fatta da me medesimo. Il testo dell'esercizio dice di studiare convergenza puntuale ed uniforme su $\mathbb{R}$ della successione di funzioni
Dunque:
Per prima cosa ho studiato la convergenza puntuale. Ho fatto il limite per $n\to\infty$ della successione di funzioni ed ho trovato che converge puntualmente a 0 per $x\in (-1,\infty)$. A questo punto sono passato alla convergenza uniforme. Ho considerato la differenza
$|f_(x)-f(x)|= |f_n (x)| = |\frac{1+x^n}{n+x^{2n}}| = \frac{1+x^n}{n+x^{2n}} < \epsilon \Leftrightarrow 1+x^n < (n+x^{2n})\epsilon \Leftrightarrow n > \frac{1+x^n-x^{2n}\epsilon}{\epsilon}$.
Quindi non si ha convergenza uniforme in $(-1,\infty)$ perchè per la definizione di convergenza uniforme si deve avere che per ogni $\epsilon > 0$ esiste $\bar{n}\in \mathbb{N}$ tale che per ogni $n \ge \bar{n}$ si ha $|f_n(x)-f(x)| < \epsilon$ per ogni $x\in\mathbb{R}$.
Ma $f_n(x)$ converge uniformemente in ogni intervallo del tipo $[a,\infty)$ con $a > -1$ in quanto ottengo un valore di $\bar{n}$ indipendente da $x$ e dipendente solo da $\epsilon$.
Ho fatto bene? Spero di si
. In caso le critiche sono ben accette
$f_n (x) = \frac{1+x^n}{n+x^{2n}}$, con $x\in\mathbb{R}$
Dunque:
Per prima cosa ho studiato la convergenza puntuale. Ho fatto il limite per $n\to\infty$ della successione di funzioni ed ho trovato che converge puntualmente a 0 per $x\in (-1,\infty)$. A questo punto sono passato alla convergenza uniforme. Ho considerato la differenza
$|f_(x)-f(x)|= |f_n (x)| = |\frac{1+x^n}{n+x^{2n}}| = \frac{1+x^n}{n+x^{2n}} < \epsilon \Leftrightarrow 1+x^n < (n+x^{2n})\epsilon \Leftrightarrow n > \frac{1+x^n-x^{2n}\epsilon}{\epsilon}$.
Quindi non si ha convergenza uniforme in $(-1,\infty)$ perchè per la definizione di convergenza uniforme si deve avere che per ogni $\epsilon > 0$ esiste $\bar{n}\in \mathbb{N}$ tale che per ogni $n \ge \bar{n}$ si ha $|f_n(x)-f(x)| < \epsilon$ per ogni $x\in\mathbb{R}$.
Ma $f_n(x)$ converge uniformemente in ogni intervallo del tipo $[a,\infty)$ con $a > -1$ in quanto ottengo un valore di $\bar{n}$ indipendente da $x$ e dipendente solo da $\epsilon$.
Ho fatto bene? Spero di si
. In caso le critiche sono ben accette
Risposte
Non ho capito come deduci cio' che dici dall'ultima disuguaglianza che hai scritto... io calcolerei il sup di $f_n$ a mano e guarderei in faccia quanto fa.
Calcolando la derivata si trova che è $f'_n (x) = -(n x^(-1 + n) (-n + 2 x^n + x^(2 n)))/(n + x^(2 n))^2$ che sembra essere decrescente. Ma in $(-1,\infty)$ non si riesce a trovare un sup, quindi non c'è convergenza uniforme in tale intervallo.
Mi correggo, credo che sia sbagliato dire che c'è convergenza uniforme su intervalli del tipo $[a,\infty)$.
Sembrerebbe che non ci sia convergenza uniforme per nessun intervallo...
Mi correggo, credo che sia sbagliato dire che c'è convergenza uniforme su intervalli del tipo $[a,\infty)$.
Sembrerebbe che non ci sia convergenza uniforme per nessun intervallo...
"shot22":
Ma in $(-1,\infty)$ non si riesce a trovare un sup
Il sup esiste sempre...
Intendevo che non si riesce a trovare un $\bar{n}$ indipendente da x e dipendente solo da $\epsilon$ che verifichi la definizione di convergenza uniforme, ho sbagliato a chiamarlo sup
Lascia stare $\epsilon$. Quanto vale il sup di $f_n$ su $(-1,+\infty)$? Si puo' calcolare.
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