Successione di funzioni

[marcoh1]

Salve a tutti!!
Non riesco a capire come il limite di una successione di funzioni può essere una funzione. Potreste spiegarmelo??
GRazie in anticipo!

[gugo82]

Beh, è semplice... Prendi una successione di funzioni di termine generale $f_n :X\to \mathbb{R}$, in cui $X$ è un qualsiasi insieme (non necessariamente costituito da numeri) e supponi che essa converga in tutto $X$.

Fissa la tua attenzione due punti $x\neq \xi \in X$. In corrispondenza di ognuno di tali punti, ogni elemento della successione di funzioni assume un valore numerico, cioé $f_n(x)$ ed $f_n(\xi)$: in tal modo riesci a determinare due successioni $f_1(x), f_2(x),f_3(x),\ldots ,f_n(x),\ldots$ e $f_1(\xi), f_2(\xi),f_3(\xi),\ldots ,f_n(\xi),\ldots$ entrambe fatte di numeri reali (perchè le funzioni $f_1,f_2,\ldots ,f_n,\ldots$ prendono valori reali).

Per l'ipotesi di convergenza, le due successioni numeriche hanno limite. Dato che, in linea generale, le due successioni $f_1(x), f_2(x),f_3(x),\ldots ,f_n(x),\ldots$ ed $f_1(\xi), f_2(\xi),f_3(\xi),\ldots ,f_n(\xi),\ldots$ sono fatte da termini distinti, esse avranno anche limiti distinti; in altri termini, in generale, esistono due numeri $l,\lambda \in \mathbb{R}$ tale che:
\[
l=\lim_n f_n(x)\qquad \text{e}\qquad \lambda =\lim_n f_n(\xi)\; .
\]
Pertanto puoi pensare associare ad $x$ il valore $l$ ed a $\xi$ il valore $\lambda$.

Facendo lo stesso discorso per tutti i punti di $X$, puoi creare l'associazione:
\[
X\ni x\mapsto \lim_n f_n(x)\in \mathbb{R}
\]
che è una funzione di $X$ in $\mathbb{R}$. Tale funzione prende il nome di (funzione) limite puntuale della successione $(f_n)$ ed è l'unica funzione, che di solito si denota con $f$, per la quale si scrive $f_n\to f \text{ puntualmente in }X$.

Un esempio concreto.
Considera la successione di funzioni il cui termine generale $f_n:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ ha legge di assegnazione:
\[
f_n(x) := \frac{n}{n+1}\ x\; .
\]
Fissando $x=1$ trovi:
\[
\lim_n f_n(1) =\lim_n \frac{n}{n+1}=1\; ;
\]
ma fissando $x=-\sqrt{3}$ ottieni un diverso valore del limite, poiché:
\[
\lim_n f_n(-\sqrt{3}) =\lim_n -\frac{n}{n+1}\ \sqrt{3}=-\sqrt{3}\; ;
\]
ed in generale, per un'arbitraria $x$, hai:
\[
\lim_n f_n(x) = \lim_n \frac{n}{n+1}\ x= x\; .
\]
Che vuol dire ciò? Beh, vuol dire che il limite della successione numerica $f_1(x),f_2(x),\f_3(x),\ldots ,f_n(x),\ldots$ dipende dal valore che si sceglie di attribuire alla variabile $x$, ossia che il numero $\lim_n f_n(x)$ è funzione della variabile $x$.
La funzione $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, che ha legge di assegnazione:
\[
f(x) := \lim_n f_n(x) = \lim_n \frac{n}{n+1}\ x = x\; ,
\]
mette in corrispondenza il valore attribuito alla variabile $x$ col limite cui tende la successione \(\big( f_n(x) \big)\): tale funzione è, per l'appunto, la (funzione) limite puntuale della successione \(\big( f_n\big)\).

[marcoh1]

Grande! Chiarissimo grazie!

[Arnaldo1]

Quindi, la definizione di convergenza puntuale si limita ad un punto???
Cioè... se c'è almeno una successione numerica individuata dalla successione di funzioni fissando una x opportuna, allora la successione di funzioni converge puntualmente (quindi ci possono essere successioni numeriche "estratte" che hanno limiti diversi tra loro o succ. num. che non convergono proprio)???

Mentre la definizione di convergenza uniforme fa riferimento a tutte le x? Cioè, prendendo tutte le x "una per una", si vede che le relative successioni numeriche hanno tutte lo stesso limite nell'intervallo (quindi devono convergere tutte)???

E' tutto corretto??