Successione di funzioni

[pemaberty]

Salve a tutti ragazzi, ho la seguente successione di funzioni e mi chiede di studiare la convergenza puntuale ed uniforme.

$lim_(n) (n*x^(1/3))/(1+n^2x^2)$

La successione converge sempre puntualmente a 0, ma ho problemi con la convergenza uniforme, il problema mi nasce perché non riesco a trovare $max |fn - f|$.
Qualcuno di voi potrebbe aiutarmi, ve ne sarei grato!

[billyballo2123]

La successione di funzioni converge uniformemente a $0$ su ogni insieme del tipo $(-\infty,-\delta]\cup [\delta,+\infty)$ con $\delta>0$. Infatti fissato $\varepsilon>0$ e posto $n_0>1/{\varepsilon \delta^{\alpha}}$ con $\alpha=5/3$, per ogni $x\in (-\infty,-\delta]\cup [\delta,+\infty)$ e ogni $n\geq n_0$ si ha che
\[
|f_n(x)-f(x)|=\Bigg|\frac{nx^{1/3}}{1+n^2x^2}\Bigg|\leq \Bigg|\frac{nx^{1/3}}{n^2x^2}\Bigg|=\frac{1}{n|x|^{\alpha}} < \frac{1}{n\delta^{\alpha}}<\varepsilon.
\]

Ciononostante non si ha la convergenza uniforme su tutto l'asse reale. Per verificarlo dobbiamo dimostrare che esiste un $\varepsilon>0$ tale che per ogni $n_0\in \mathbb{N}$ esiste un $n\geq n_0$ e un $x_n\in \mathbb{R}$ tale che
\[
|f_n(x_n)-f(x_n)|\geq \varepsilon.
\]
Poniamo $\varepsilon=1$ e $x_n=1/n$ per ogni $n\in \mathbb{N}$. Allora per ogni $n\geq 2$ si ha che
\[
|f_n(x_n)-f(x_n)|=\Bigg|\frac{nx_n^{1/3}}{1+n^2x_n^2}\Bigg|=\frac{n^{4/3}}{2}\geq 1=\varepsilon.
\]

[pemaberty]

Grazie billy, spiegazione impeccabile!