Successione di funzione, ipotesi ingiustificate
L'esercizio è quello che avevo già chiesto ed è studiare convergenza puntuale di:
$f_n(x) = x/(3+x^(2n))^(1/n) $ definita per $x>=0$
e poi stabilirne la convergenza uniforme in [0,1] e in [1,+oo].
Ora per la convergenza puntuale sappiamo già (dall'ultima volta che l'avevo chiesto che è): $ f(x)={ ( x harr [0,1] ),( 1/x harr [1,+oo] ):} $ e dunque data la continuità della f. limite la convergenza uniforme su tutto l'intervallo è possibile.
Procederò per punti analoghi invece che per insiemi, perchè voglio arrivare contemporaneamente allo stesso problema su entrambi gli insiemi.
Inizio a "guardare" $f_n(x)-f(x)$ e concludo che mettersi a derivare e studiare i massimi significherebbe finire domattina e forse non arrivare neanche a nulla. Quindi procedo in altro modo. In entrambi i casi la funzione è sempre negativa, le scrivo per chiarezza, ma sono abbastanza sicuro che sia giusto:
fn-f in [0,1] --> $ {x-x*(3+x^(2n))^(1/n)} / (3+x^(2n))^(1/n) $
fn-f in[1,inf]--> $ {x^2-(3+x^(2n))^(1/n)} / {x*(3+x^(2n))^(1/n)} $
Di entrambe studio i limiti agli estremi. Negli estremi non comuni (0 e +oo) entrambe le funzioni vanno a -oo.
Nell'estremo comune, e qui arriva il bello, entrambe vanno a $p_n=-1+1/4^(1/n) $, quantità che è definitivamente nulla.
Se provassimo a sostituire $p_n$ in entrambe le $f_n-f$ troveremmo 0 nel primo caso e -oo nel secondo caso.
Ma prima di fare questa cosa io devo aver ipotizzato per qualche motivo che il sup sia proprio quel $p_n$.
Tutta questa pappardella di due ore è finalizzata a questo: vorrei sapere se quest'ipotesi è sensata e soprattuto se è sensata per il motivo che adesso vado a dire.
Essendo la funzione sempre negativa, se fissando un n arbitrariamente grande, trovo un f(xn)=0 quello è necessariamente il sup, non tanto perchè la funzione è monotona, ma perchè se anche continuasse a fare sù e giù un milione di volte non potrebbe mai andare più in alto dello zero.
La cosa mi sembra sensata, ma mi domanda se lo sia "PER OGNI n" e non solo per n sufficientemente grandi da annullare $p_n$
Ringrazio chi vorrà leggere tutto e rispondermi.
ciao!
$f_n(x) = x/(3+x^(2n))^(1/n) $ definita per $x>=0$
e poi stabilirne la convergenza uniforme in [0,1] e in [1,+oo].
Ora per la convergenza puntuale sappiamo già (dall'ultima volta che l'avevo chiesto che è): $ f(x)={ ( x harr [0,1] ),( 1/x harr [1,+oo] ):} $ e dunque data la continuità della f. limite la convergenza uniforme su tutto l'intervallo è possibile.
Procederò per punti analoghi invece che per insiemi, perchè voglio arrivare contemporaneamente allo stesso problema su entrambi gli insiemi.
Inizio a "guardare" $f_n(x)-f(x)$ e concludo che mettersi a derivare e studiare i massimi significherebbe finire domattina e forse non arrivare neanche a nulla. Quindi procedo in altro modo. In entrambi i casi la funzione è sempre negativa, le scrivo per chiarezza, ma sono abbastanza sicuro che sia giusto:
fn-f in [0,1] --> $ {x-x*(3+x^(2n))^(1/n)} / (3+x^(2n))^(1/n) $
fn-f in[1,inf]--> $ {x^2-(3+x^(2n))^(1/n)} / {x*(3+x^(2n))^(1/n)} $
Di entrambe studio i limiti agli estremi. Negli estremi non comuni (0 e +oo) entrambe le funzioni vanno a -oo.
Nell'estremo comune, e qui arriva il bello, entrambe vanno a $p_n=-1+1/4^(1/n) $, quantità che è definitivamente nulla.
Se provassimo a sostituire $p_n$ in entrambe le $f_n-f$ troveremmo 0 nel primo caso e -oo nel secondo caso.
Ma prima di fare questa cosa io devo aver ipotizzato per qualche motivo che il sup sia proprio quel $p_n$.
Tutta questa pappardella di due ore è finalizzata a questo: vorrei sapere se quest'ipotesi è sensata e soprattuto se è sensata per il motivo che adesso vado a dire.
Essendo la funzione sempre negativa, se fissando un n arbitrariamente grande, trovo un f(xn)=0 quello è necessariamente il sup, non tanto perchè la funzione è monotona, ma perchè se anche continuasse a fare sù e giù un milione di volte non potrebbe mai andare più in alto dello zero.
La cosa mi sembra sensata, ma mi domanda se lo sia "PER OGNI n" e non solo per n sufficientemente grandi da annullare $p_n$
Ringrazio chi vorrà leggere tutto e rispondermi.
ciao!
Risposte
In verità, i conti con le derivate sono semplici.
Infatti, ad esempio, per \(x\in [0,1]\) hai:
\[
\begin{split}
\frac{\text{d}}{\text{d} x} [f(x)-f_n(x)] &= \frac{\text{d}}{\text{d} x} \left[ x - x\ \frac{1}{(3+x^{2n})^{1/n}}\right]\\
&= 1 - \frac{1}{(3+x^{2n})^{1/n}} + x\ \frac{1}{\cancel{n}} \frac{2\cancel{n}\ x^{2n-1}}{(3+x^{2n})^{1+1/n}}\\
&= 1 - \frac{3 - x^{2n}}{(3+x^{2n})^{1+1/n}}
\end{split}
\]
e dato che:
\[
\frac{3 - x^{2n}}{3 + x^{2n}} \leq 1 \qquad \text{e}\qquad \frac{1}{(3 + x^{2n})^{1/n}}\leq \frac{1}{\sqrt[n]{3}}
\]
hai:
\[
\frac{3 - x^{2n}}{(3+x^{2n})^{1+1/n}} \leq \frac{1}{\sqrt[n]{3}}<1 \qquad \Rightarrow \qquad 1-\frac{3 - x^{2n}}{(3+x^{2n})^{1+1/n}}>0\; ,
\]
sicché la "funzione scarto" \(f(x) - f_n(x)\) è crescente in \([0,1]\) e prende massimo in \(1\), tale massimo essendo:
\[
M_n := f(1)-f_n(1) = 1-\frac{1}{\sqrt[n]{4}}\; .
\]
Per gli \(x\geq 1\), per semplificare i conti potresti pensare di introdurre una variabile ausiliaria, tipo \(y=1/x\), e studiare la funzione rispetto a tale variabile.
Insomma, mai fasciarsi la testa prima di essersela rotta...
P.S.: Mi spieghi come fa una roba continua in \(0\) come \(f(x)-f_n(x)\) a tendere a \(-\infty\) per \(x\to 0\)?
Infatti, ad esempio, per \(x\in [0,1]\) hai:
\[
\begin{split}
\frac{\text{d}}{\text{d} x} [f(x)-f_n(x)] &= \frac{\text{d}}{\text{d} x} \left[ x - x\ \frac{1}{(3+x^{2n})^{1/n}}\right]\\
&= 1 - \frac{1}{(3+x^{2n})^{1/n}} + x\ \frac{1}{\cancel{n}} \frac{2\cancel{n}\ x^{2n-1}}{(3+x^{2n})^{1+1/n}}\\
&= 1 - \frac{3 - x^{2n}}{(3+x^{2n})^{1+1/n}}
\end{split}
\]
e dato che:
\[
\frac{3 - x^{2n}}{3 + x^{2n}} \leq 1 \qquad \text{e}\qquad \frac{1}{(3 + x^{2n})^{1/n}}\leq \frac{1}{\sqrt[n]{3}}
\]
hai:
\[
\frac{3 - x^{2n}}{(3+x^{2n})^{1+1/n}} \leq \frac{1}{\sqrt[n]{3}}<1 \qquad \Rightarrow \qquad 1-\frac{3 - x^{2n}}{(3+x^{2n})^{1+1/n}}>0\; ,
\]
sicché la "funzione scarto" \(f(x) - f_n(x)\) è crescente in \([0,1]\) e prende massimo in \(1\), tale massimo essendo:
\[
M_n := f(1)-f_n(1) = 1-\frac{1}{\sqrt[n]{4}}\; .
\]
Per gli \(x\geq 1\), per semplificare i conti potresti pensare di introdurre una variabile ausiliaria, tipo \(y=1/x\), e studiare la funzione rispetto a tale variabile.
Insomma, mai fasciarsi la testa prima di essersela rotta...
P.S.: Mi spieghi come fa una roba continua in \(0\) come \(f(x)-f_n(x)\) a tendere a \(-\infty\) per \(x\to 0\)?
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