Successione di funzione convergenza uniforme
Innanzitutto salve a tutti vi spiego il mio problema:
ho il seguente esercizio: Studiare la convergenza puntuale e uniforme della successione di funzioni su R
$ f_n(x)=(1)/(1+n^x) $
le mie domande sono:
1) Ho fatto la convergenza puntuale in cui non ci son problemi ma non riesco a fare l'uniforme
2) Dalle soluzioni vedo che bisognerà restringere il dominio di conv. uniforme e non riesco a capire come vanno scelti i sottoinsiemi
ho il seguente esercizio: Studiare la convergenza puntuale e uniforme della successione di funzioni su R
$ f_n(x)=(1)/(1+n^x) $
le mie domande sono:
1) Ho fatto la convergenza puntuale in cui non ci son problemi ma non riesco a fare l'uniforme
2) Dalle soluzioni vedo che bisognerà restringere il dominio di conv. uniforme e non riesco a capire come vanno scelti i sottoinsiemi
Risposte
ci provo
innanzitutto,
per $x>0$ la successione tende a $0$
per $x=0$ ogni termine della successione è uguale a $1/2$
per $x<0$ la successione tende a $1$
prendiamo $I=(0,+infty)$
si ha che l'estremo superiore di $f_n(x)$ in $I$ è uguale ad $a_n=1/2$;quindi anche $ lim_(n -> +infty)a_n=1/2 $ e allora in $I$ non si ha convergenza uniforme
se invece prendiamo $I=(b,+infty)$ con $b>0$,si ha $a_n=1/(1+n^b)$ e quindi $ lim_(n -> +infty)a_n=0 $ e allora in $I$ si ha convergenza uniforme
con ragionamenti analoghi si può vedere che non c'è convergenza uniforme in $(-infty,0)$ mentre c'è in $(-infty,c),c<0$
innanzitutto,
per $x>0$ la successione tende a $0$
per $x=0$ ogni termine della successione è uguale a $1/2$
per $x<0$ la successione tende a $1$
prendiamo $I=(0,+infty)$
si ha che l'estremo superiore di $f_n(x)$ in $I$ è uguale ad $a_n=1/2$;quindi anche $ lim_(n -> +infty)a_n=1/2 $ e allora in $I$ non si ha convergenza uniforme
se invece prendiamo $I=(b,+infty)$ con $b>0$,si ha $a_n=1/(1+n^b)$ e quindi $ lim_(n -> +infty)a_n=0 $ e allora in $I$ si ha convergenza uniforme
con ragionamenti analoghi si può vedere che non c'è convergenza uniforme in $(-infty,0)$ mentre c'è in $(-infty,c),c<0$
Intanto grazie per la risposta! Mi hai chiarito il primo dubbio, però non riesco a capire una cosa nell' ultima parte dello svolgimento quando per dire che converge uniformemente si restringe il dominio: che ragionamento fai , che è giusto, per dire che il dominio di conv. unif. è $ I=(b;+oo) $ e non magari $ I=(0;b) $ con $ b>0 $ ?
seconda domanda: quell' $ a_n=1/(1+n^b) $ a cui poi vai a fare il limite cosa sarebbe ? Un sup?
seconda domanda: quell' $ a_n=1/(1+n^b) $ a cui poi vai a fare il limite cosa sarebbe ? Un sup?
se l'intervallo fosse $(0,b)$ il sup sarebbe $a_n=1/2$ e quindi $ lim_(n -> +infty)a_n=1/2 $ e non ci sarebbe convergenza uniforme
invece,con $(b,+infty)$ il sup è $a_n=1/(1+n^b)$ e quindi $ lim_(n -> +infty)a_n=0 $ e c'è convergenza uniforme
invece,con $(b,+infty)$ il sup è $a_n=1/(1+n^b)$ e quindi $ lim_(n -> +infty)a_n=0 $ e c'è convergenza uniforme
Detto in parole povere: l'intervallo va scelto in modo da pescare un estremo superiore che tenda a zero con $ n $ (per aver quindi convergenza uniforme).
Davvero grazie ragazzi credo finalmente di aver capito. Ad esempio provando a fare quest esercizio similissimo ho fatto così quindi
$ f_n(x)=(nx)/(e^(nx)) $
Convergenza puntuale alla funzione $ f(x)=0 $ per ogni x
Convergenza uniforme in R non c'è perche
$ SUP|(nx)/(e^(nx))-0|=1/e $ quando x=1/n ; che quindi è diverso da zero.
Provando sui sottoinsiemi di R c'è conv uniforme in $ (a;+oo) $ con a>0 (oppure a>1/n??) poiche definitivamente 1/n uscirà dall'intervallo e il sup sarà $ (na)/(e^(na)) $ che tende a zero quando n trnde a infinito ( rispettivamente senza usare il definitivamente poiche intervallo non contiene 1/n?). Poi cè conv uniforme anche in $ (-oo;0) $ perche in quel caso il sup è zero già prima del limite.? Oppure devo anche qui riconsiderare per forza un intervallo $ (-oo;-a) $ ? Ancora grazie ragazzi per il vostro preziosissimo aiuto!!!
$ f_n(x)=(nx)/(e^(nx)) $
Convergenza puntuale alla funzione $ f(x)=0 $ per ogni x
Convergenza uniforme in R non c'è perche
$ SUP|(nx)/(e^(nx))-0|=1/e $ quando x=1/n ; che quindi è diverso da zero.
Provando sui sottoinsiemi di R c'è conv uniforme in $ (a;+oo) $ con a>0 (oppure a>1/n??) poiche definitivamente 1/n uscirà dall'intervallo e il sup sarà $ (na)/(e^(na)) $ che tende a zero quando n trnde a infinito ( rispettivamente senza usare il definitivamente poiche intervallo non contiene 1/n?). Poi cè conv uniforme anche in $ (-oo;0) $ perche in quel caso il sup è zero già prima del limite.? Oppure devo anche qui riconsiderare per forza un intervallo $ (-oo;-a) $ ? Ancora grazie ragazzi per il vostro preziosissimo aiuto!!!
Controlla meglio i calcoli se $ x<0 $ hai $ nxe^(-nx) rarr -infty$ e non hai convergenza puntuale.
Altrimenti il ragionamento è giusto. Il punto di estremo globale esce dall'intervallo considerato per la convergenza uniforme sicchè l'estremo superiore si ha in corrispondenza del bordo, e dipende giustamente da $ n $ tendendo a zero.
Altrimenti il ragionamento è giusto. Il punto di estremo globale esce dall'intervallo considerato per la convergenza uniforme sicchè l'estremo superiore si ha in corrispondenza del bordo, e dipende giustamente da $ n $ tendendo a zero.
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