Successione di funzione
Vorrei un aiuto/conferma per questo esercizio sulle successioni di funzioni (che ogni tanto mi diverte farli, giusto per non dimenticare 
). Studiare la convergenza puntuale ed uniforme della seguente successione:
$f_n(x)=(root(3)(n)logx)/(1+root(3)(n)log^2x)$
Svolgimento:
Convergenza puntuale:Fisso $x in RR$ e studio $lim_(n->+oo)(root(3)(n)logx)/(1+root(3)(n)log^2x)=1/logx$. Quindi posso concludere che $f_n(x)->1/logx , x in I=(0,1)uu(1,+oo)$.
Convergenza uniforme:Utilizzo la proposizione $f_n->^(u)f <=>lim_(n->+oo)$sup$|f_n(x)-f(x)|=0$ quindi facendo un pò di conti arrivo sup$|-1/((logx)(1+root(3)(n)log^2x))|=$, lavorando un pò con i valori assoluti sono arrivato a questo punto:
sup$(1/|logx|1/(1+root(3)(n)log^2x))$. Mi sono fermato un attimo qui, perchè volevo capire se in qualche modo potevo maggiorare con qualcosa, ma anche lavorando con la funzione $|logx|$, non arrivo a nulla di buono. Quindi mi chiedevo, dato che al variare di $x in I$ quando $n->+oo$ quella quantità va a zero, posso concludere che $lim_(n->+oo)(1/|logx|1/(1+root(3)(n)log^2x))=0 , AAx in (0,1)uu(1,+oo)$?
). Studiare la convergenza puntuale ed uniforme della seguente successione:$f_n(x)=(root(3)(n)logx)/(1+root(3)(n)log^2x)$
Svolgimento:
Convergenza puntuale:Fisso $x in RR$ e studio $lim_(n->+oo)(root(3)(n)logx)/(1+root(3)(n)log^2x)=1/logx$. Quindi posso concludere che $f_n(x)->1/logx , x in I=(0,1)uu(1,+oo)$.
Convergenza uniforme:Utilizzo la proposizione $f_n->^(u)f <=>lim_(n->+oo)$sup$|f_n(x)-f(x)|=0$ quindi facendo un pò di conti arrivo sup$|-1/((logx)(1+root(3)(n)log^2x))|=$, lavorando un pò con i valori assoluti sono arrivato a questo punto:
sup$(1/|logx|1/(1+root(3)(n)log^2x))$. Mi sono fermato un attimo qui, perchè volevo capire se in qualche modo potevo maggiorare con qualcosa, ma anche lavorando con la funzione $|logx|$, non arrivo a nulla di buono. Quindi mi chiedevo, dato che al variare di $x in I$ quando $n->+oo$ quella quantità va a zero, posso concludere che $lim_(n->+oo)(1/|logx|1/(1+root(3)(n)log^2x))=0 , AAx in (0,1)uu(1,+oo)$?
Risposte
Secondo me no, ed in particolare il problema in questo caso è che non sei indipendente da \(x\): infatti scelto un \(\varepsilon > 0\) ed un \(n \in \mathbf{N}\) puoi sempre trovare un \(x\) che ti mandi la quantità oltre \(\varepsilon\).
Per questo, io direi che la convergenza non è uniforme in quell'insieme.
Tuttavia mi sentirei di dire che la funzione converge uniformemente in qualunque insieme del tipo
\[
E = (0, 1 - \delta] \cup [1 + \delta, +\infty), \qquad \delta > 0
\]
ed in tal caso il massimo dell'errore che fai lo ottieni su uno dei due punti di frontiera di \(E\).
Sperando di non aver scritto boiate [vista l'ora!] me ne vado a letto!
Per questo, io direi che la convergenza non è uniforme in quell'insieme.
Tuttavia mi sentirei di dire che la funzione converge uniformemente in qualunque insieme del tipo
\[
E = (0, 1 - \delta] \cup [1 + \delta, +\infty), \qquad \delta > 0
\]
ed in tal caso il massimo dell'errore che fai lo ottieni su uno dei due punti di frontiera di \(E\).
Sperando di non aver scritto boiate [vista l'ora!] me ne vado a letto!
Quando dici "la funzione converge uniformemente in qualunque insieme del tipo..." non stiamo dicendo che c'è convergenza uniforme $AAx in (0,1)uu(1,+oo)$? cioè basta che mi metto in un intorno sinistro o destro di 1. Perchè come dici tu l'errore lo trovo se mi metto su uno dei punti di frontiera, dove la quantità in questione esplode...
Sono di accordo con Raptorista a meta'.
Questo limite fa 0.
Perche' da come scritto, la x e' fissata, e fai il limite in n.
Sono di accordo sulla convergenza uniforme, infatti lorin a quella quantita', prima di mandarla al limite, devi fargli il sup sulle x, ma in un intorno di 1 sei fregato perche' va all'infinito.
Quindi attenzione che devi applicare prima il sup proprio per rispondere a quel ragionamento di Raptorista sulla x (potresti anche fare un ragionamento sulla continuita' visto che e' implicata dalla convergenza uniforme);
se invece prendi un insieme tipo $E$ definito da Raptorista hai che il sup e' raggiunto in 1+d o 1-d e mandando n all'infinito va a 0.
Questo limite fa 0.
"Lorin":
Quindi mi chiedevo, dato che al variare di $x in I$ quando $n->+oo$ quella quantità va a zero, posso concludere che $lim_(n->+oo)(1/|logx|1/(1+root(3)(n)log^2x))=0 , AAx in (0,1)uu(1,+oo)$?
Perche' da come scritto, la x e' fissata, e fai il limite in n.
Sono di accordo sulla convergenza uniforme, infatti lorin a quella quantita', prima di mandarla al limite, devi fargli il sup sulle x, ma in un intorno di 1 sei fregato perche' va all'infinito.
Quindi attenzione che devi applicare prima il sup proprio per rispondere a quel ragionamento di Raptorista sulla x (potresti anche fare un ragionamento sulla continuita' visto che e' implicata dalla convergenza uniforme);
se invece prendi un insieme tipo $E$ definito da Raptorista hai che il sup e' raggiunto in 1+d o 1-d e mandando n all'infinito va a 0.
Ah ho capito...vi ringrazio per il consiglio!
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