Successione di funzione

[wheel21]

Ciao a tutti,
sto ripassando le successioni di funzioni e proprio non riesco a capire nemmeno come cominciare a risolvere gli esercizi, anche i più stupidi.
vi metto uno degli esercizi che ho sulle fotocopie che ho a disposizione. potreste guidarmi passo passo nel risolverli? la mera soluzione proprio non mi aiuterebbe in nulla quindi prendetemi per uno che non sa nulla

devo calcolare il limite puntuale e uniforme
$ f_n(x) = (nx) / (1+ n^2x^2) $

leggendo la definizione di limite puntuale parto con il limite

$ lim_(n -> +oo ) f_n(x) = (nx) / (1+ n^2x^2) $

considero x come parametro e quindi il limite dovrebbe andare a 0. giusto?

per il limite uniforme ho trovato sui miei appunti che devo fare qualcosa che ha a che fare su un limite superiore e mi ricordo che molte volte il professore ha usato le derivate.
ma poi non so più che fare...

[j18eos]

Come limite puntuale ci siamo; il limite dell'estremo superiore che tu dici lo trovi qui [tex]http://it.wikipedia.org/wiki/Convergenza_uniforme#Convergenza_uniforme[/tex].

[wheel21]

corrisponde a quello che ricordavo...ma poi il procedimento per risolvere la seconda parte qual'è? devo risolvere un altro limite...ma prima devo trovare l'elemento superiore del modulo di una differenza...come faccio? c'entra qualcosa il calcolo di una derivata?

ok, ci tento:
devo fare la derivata in questo modo...

$ (d f_n(x) )/ dx = -(2n^2x)/(1+n^2x^2)^2 $

la devo porre uguale a zero?

[alberto861]

Ma siete sicuri??a me la derivata viene
$\frac{n(1+nx)(1-nx)}{(1+n^2x^2)^2}$.
Inoltre per $x=\pm\frac{1}{n}$ la funzione vale $\pm \frac{1}{2}$ quindi il limite puntuale non è definito nell'origine

[alberto861]

hai convergenza puntuale e uniforme se escludi l'origine

[wheel21]

"alberto86":Ma siete sicuri??a me la derivata viene
$\frac{n(1+nx)(1-nx)}{(1+n^2x^2)^2}$.
Inoltre per $x=\pm\frac{1}{n}$ la funzione vale $\pm \frac{1}{2}$ quindi il limite puntuale non è definito nell'origine

scusa ma la derivata di $ 1/(1+n^2x^2) $ viene $ d/dx(1/(1+n^2x^2))=((d/dx (1)) (1+x^2n^2)-d/dx(1+x^2n^2) )/ (1+x^2n^2)^2 $

poi come fai a dire che converge puntualmente? proprio mi manca la parte teorica! non capisco come fare materialmente per capire la convergenza uniforme...

[legendre]

Come dice Alberto se poni $f_n(+-1/n)=+-1/2$ quindi questi 2 punti $x_n=+-1/n$ sono max e min per cui la convergenza non e' uniforme.Se dato un intervallo
$I$ con $x_n,x in I$ e hai che $x_n\tox$ deve valere se la successione e' convergente che $lim_(x\toinfty)f_n(x_n)=f(x)$ ma invece hai:
$x_n=1/n\to 0$ ma $lim_(n\to infty)f(1/n)=1/2!=f(0)=0$

[wheel21]

ho capito l'ultima cosa ma non ho capito bene come applicare in maniera generale il procedimento.
ho una successione di funzioni: che passi devo applicare per capire se converge uniformemente? fai conto che devi spiegarlo ad uno che non ha praticamente mai visto nulla...passo passo, piano piano...

una cosa del tipo: per la convergenza puntuale la successione converge se converge il limite blablabla(quello che ho fatto sopra)

[wheel21]

Scusate ma proprio non riesco a capire che fare...