Successione di funzione
Ciao 
Mi sto esercitando per l'esame di Analisi II ma non riesco a capire come trovare l'intervallo di convergenza uniforme nelle successioni di funzioni quando non ho un punto di massimo oppure come restringere l'intervallo se ad esempio il valore assoluto del sup di $f_n(x) - f(x)$ è diverso da zero.
Faccio due esempi per essere più chiaro:
Trovare l'insieme di convergenza uniforme di $f_n(x) = 1/(nx)$
In questo caso ad esempio non ho un massimo perciò come faccio a capire l'intervallo?
Oppure:
Data la successione di funzione $(n*sqrt(x))/(1+n^2*x)$ trovare l'intervallo di convergenza uniforme:
In questo caso a differenza dell'altro ho un punto di massimo ovvero $1/n^2$ calcolo $f_n(1/n^2)$ e trovo come valore $1/2$ ora il sup di $|f_n(x)-f(x)|$ è diverso da zero, come faccio a capire di quanto restringere l'intervallo per far si che diventi 0?
Grazie in anticipo, spero di essermi spiegato bene...
Mi sto esercitando per l'esame di Analisi II ma non riesco a capire come trovare l'intervallo di convergenza uniforme nelle successioni di funzioni quando non ho un punto di massimo oppure come restringere l'intervallo se ad esempio il valore assoluto del sup di $f_n(x) - f(x)$ è diverso da zero.
Faccio due esempi per essere più chiaro:
Trovare l'insieme di convergenza uniforme di $f_n(x) = 1/(nx)$
In questo caso ad esempio non ho un massimo perciò come faccio a capire l'intervallo?
Oppure:
Data la successione di funzione $(n*sqrt(x))/(1+n^2*x)$ trovare l'intervallo di convergenza uniforme:
In questo caso a differenza dell'altro ho un punto di massimo ovvero $1/n^2$ calcolo $f_n(1/n^2)$ e trovo come valore $1/2$ ora il sup di $|f_n(x)-f(x)|$ è diverso da zero, come faccio a capire di quanto restringere l'intervallo per far si che diventi 0?
Grazie in anticipo, spero di essermi spiegato bene...
Risposte
Puoi iniziare a guardare cosa succede su tutto il dominio, se non trovi qualcosa di utile cominci a restringere evitando il problema che ti fa si che non ci sia convergenza uniforme. Prova a applicare questo ragionamento sui tuoi esempi.
Ciao, grazie per il consiglio!
Anch'io avevo pensato a una cosa del genere ma non ho idea di come fare i calcoli, ad esempio, nel primo caso non avendo un punto di massimo mi verrebbe da dire di dover stringere il campo fino a $+infty$ ?
Uguale nel secondo caso essendo che $f(x) =0$ allora dovrei far si che il sup di $f_n(x) $ sia uguale a zero, ma questo non capita solo quando $x$ tende all'infinito?
Sicuramente il mio ragionamento è sbagliato, ma non riesco a trovare altre soluzioni.
Anch'io avevo pensato a una cosa del genere ma non ho idea di come fare i calcoli, ad esempio, nel primo caso non avendo un punto di massimo mi verrebbe da dire di dover stringere il campo fino a $+infty$ ?
Uguale nel secondo caso essendo che $f(x) =0$ allora dovrei far si che il sup di $f_n(x) $ sia uguale a zero, ma questo non capita solo quando $x$ tende all'infinito?
Sicuramente il mio ragionamento è sbagliato, ma non riesco a trovare altre soluzioni.
Ad esempio, nel primo caso $1/{nx}$ è definita su $D=(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$ e converge puntualmente ovunque a $0$. Non converge a $0$ uniformemente su $D$ dal momento che l'estremo superiore di $|f_n-0|$ su $D$ è $+\infty$. Puoi allora provare a vedere cosa succede su intervalli dentro $D$ per cominciare, come intervalli della forma $(a,+\infty)$ con $a>0$ oppure $(a,b)$ ecc...
A livello teorico ho capito il ragionamento, ma come faccio a trovare il sup di $f_n(x)$ nel primo caso ad esempio se non ho mai un massimo?
Anche restringendo il campo avrò sempre un sup di $f_n(x) != 0$ o sbaglio?
Uguale nel secondo caso sara sempre $!=0$
Non so proprio che calcoli fare..
Anche restringendo il campo avrò sempre un sup di $f_n(x) != 0$ o sbaglio?
Uguale nel secondo caso sara sempre $!=0$
Non so proprio che calcoli fare..
$f_n$ converge uniformemente a $f$ su $A$ se l'estremo superiore su $A$ di $|f_n-f|$ tende a $0$, non "è $0$".
Provo a risolvere il primo esercizio, cosi magari mi dai qualche dritta
1. Guardo se la funzione ha un massimo:
$lim x->infty 1/(nx) = 0$ mentre $lim x->0^+ 1/(nx) = +infty$
La funzione non ha un massimo perciò:
$lim n->infty$ sup $x in [0,infty]$ di $|f_n(x) - f(x) | !=0$ dato che $lim n->infty f_n(x) =0$ quindi $f(x) =0$
2. Ora come mi hai suggerito provo a restringere il campo:
$lim n->infty$ sup $x in [a,infty]$ di $|f_n(x) - f(x) |$
Avrò:
$1/(na)$
Okay e ora
Se derivo comunque non trovo un punto di massimo infatti avrei:
$-1/(na^2)$
Quindi come faccio a trovare il sup?
Grazie e scusa se non capisco e ti tartasso di domande..
1. Guardo se la funzione ha un massimo:
$lim x->infty 1/(nx) = 0$ mentre $lim x->0^+ 1/(nx) = +infty$
La funzione non ha un massimo perciò:
$lim n->infty$ sup $x in [0,infty]$ di $|f_n(x) - f(x) | !=0$ dato che $lim n->infty f_n(x) =0$ quindi $f(x) =0$
2. Ora come mi hai suggerito provo a restringere il campo:
$lim n->infty$ sup $x in [a,infty]$ di $|f_n(x) - f(x) |$
Avrò:
$1/(na)$
Okay e ora
Se derivo comunque non trovo un punto di massimo infatti avrei:
$-1/(na^2)$
Quindi come faccio a trovare il sup?
Grazie e scusa se non capisco e ti tartasso di domande..
Comunque si dice "successione di funzioni", perché è una successione, cioè una lista \((a_1, a_2, a_3, \ldots)\), i cui elementi sono funzioni. (Quando leggo "successione di funzione", penso immediatamente che lo studente non sa cosa sta scrivendo, ecco perché è da evitare assolutamente).
La logica dei tuoi passaggi lascia a desiderare, bisogna fare un po' di ordine. Continuiamo con $f_n(x)=\frac{1}{nx}$, definita su $\mathbb R \setminus \{0\}$. Prima di tutto si va a trovare il limite puntuale, unico candidato possibile a essere limite uniforme, e in tal caso, come già osservato, viene $0$. Dunque si va a verificare, sostanzialmente usando la definizione, su quali insiemi $A \subseteq \mathbb R \setminus \{0\}$ si ha anche convergenza uniforme a $0$, ovvero si cerca di vedere se l'estremo superiore su $A$ di $|f_n-0|=|f_n|$ va a $0$ per $n\to+\infty$. Abbiamo già detto che $A=\mathbb R \setminus \{0\}$ non va bene dal momento che l'estremo superiore su $\mathbb R \setminus \{0\}$ di $|f_n|$ è $+\infty$. Proviamo a prendere $A=(a,+\infty)$, con $a>0$. Allora l'estremo superiore di $|f_n|$ su ha vale $\frac{1}{na}$ ($f_n$ decresce su $(a,+\infty)$, non è un massimo perché $a\notin A$) e si ha $\lim_n\frac{1}{na}=0$ per cui si ha convergenza uniforme su ogni intervallo del tipo $(a,+\infty)$ con $a>0$. Puoi vedere adesso tu altri casi.
Capito, gentilissimo, grazie mille
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