Successione di Fibonacci

[asromavale1]

devo dimostrare per induzione che la successione definita per ricorrenza: $ a_(n+2)=a_(n+1)+a_n $ , $ a_(1)=a_(2)=1 $ è una successione a termini positivi e strettamente crescente.conosco il procedimento per induzione ma non riesco ad applicarlo.Poi un altro dubbio che mi sorge è : come fa la successione ad essere strettamente crescente se $ a_(1)=a_(2)=1 $ ?

[Kashaman]

$1,1,2,3,5,8,13,21,34,....$ è la tua successione. Quindi, intuitivamente, ti accorgi che la crescenza è stretta. Formalmente devi provare che $\forall n \in NN : a_n < a_{n+1}$ e puoi farlo con il principio di induzione.
Precisamente dove ti blocchi?

[asromavale1]

ma se $ n=1 $ $ a_(n+1)=a_n $ per cui non posso dire che $ a_(n+1)>a_nAA nin N $

[asromavale1]

anche se volessi far vedere che è solo crescente(non strettamente) vedo che per n=1 $a_(n+1)>=a_n $ quindi supposto vero che $a_(n+1)>=a_n $ come arrivo a dimostrare che $a_(n+2)>=a_(n+1) $ ?

[Gi81]

La successione è così definita: ${( a_1=1),(a_2=1),(a_n=a_(n-1)+a_{n-2} \text{ se }\quad n>=2):} $

Per induzione su $n in NN$ dimostriamo che $a_n >=1$:

BASE: $a_1=1>=1$; $a_2=1>1$ OK
PASSO: sia $n>=2$.
per ipotesi induttiva si ha $a_{n-1}>=1$ e $a_{n-2}>=1$.
Allora $a_n= a_{n-1}+a_{n-2}>=1+1=2>=1$ OK

Ora, per induzione su $n in NN setminus {1}$, dimostriamo che $a_{n+1} >=a_n +1$
(escludo $n=1$ perchè, come hai notato anche tu, si ha $a_1=a_2$)

BASE: $n=2$. Si ha $a_{2+1}=a_3=2>=1+1=a_2+1$ OK
PASSo: sia $n>=3$
per quanto dimostrato prima, si ha $a_{n-1}>=1$
quindi abbiamo $a_{n+1}= a_n+a_{n-1}>= a_n +1$ OK

Quindi la successione di Fibonacci è crescente , ed è strettamente crescente se non consideriamo il primo termine.

[asromavale1]

non capisco quando dici che per ipotesi induttiva sia ha "$a_(n-1)>=1 $ e $a_(n-2)>=1$ .per dimostrare che $ a_n>= 1.$ non dovrei verificare che la disuguaglianza e' vera per n = 1 e poi supposto vero $ a_n>= 1.$ dimostrare che $ a_(n+1)>= 1.$

[Gi81]

Pardon, mi ero dimenticato di questo post.
Ho usato il principio di induzione "forte", che è un po' diverso da quello "debole" che conosci tu.


Dimostrare che vale una proprietà $P(n)$ per ogni $n in NN$ tramite INDUZIONE DEBOLE:
BASE: provare che vale $P(1)$.
PASSO: fissato $n>=2$, provare che se vale $P(n-1)$ allora vale $P(n)$.


Dimostrare che vale una proprietà $P(n)$ per ogni $n in NN$ tramite INDUZIONE FORTE:
BASE: provare che vale $P(1)$.
PASSO: fissato $n>=2$, provare che se vale $P(k)$ per ogni $k in {1,2,...,n-1}$ allora vale $P(n)$.