Successione di $f$ convergenti in misura, ma non puntualmente

[DavideGenova1]

Ciao, amici! Trovo enunciato sugli Elementi di teoria delle funzioni e di analisi funzionale di Kolmogorov e Fomin (p. 285 dell'ed. Editori Riuniti) che le funzioni \(f_i^{(k)}:(0,1]\to\mathbb{R}\) definite per ogni $k$ naturale da\[f_i^{(k)}(x)=\begin{cases} 1 & \mbox{per } \frac{i-1}{k}enumerando tutte queste funzioni una dopo l'altra, otteremo una successione che, come è facile verificare, è convergente in misura a zero, ma, al tempo stesso, non converge in nessun punto.

Ora, a me sembra che, per ogni $n>k$, \(f_n^{(k)}(x)\equiv 0\) e quindi mi sembra decisamente che \(f_n^{(k)}\xrightarrow{n\to\infty} 0\).

Se si trattasse invece di prendere la successione \(\{f_n^{(n)}\}_n\), mi pare proprio che, per qualunque $\sigma>0$, \(\mu\{x\in(0,1]:|f_n(x)-f(x)|\geq\sigma\}=n^{-1}\xrightarrow{n\to\infty}0\), ma d'altra parte basta scegliere $n\geq 2$ per vedere che \(\forall x\in(1/2,1]\quad f_n(x)=0\), quindi direi che, di punti in cui tale successione converge, ce ne siano eccome... O no?

Nonostante sia facile verificarlo a me risulta persino difficile capire che cosa significa l'enunciato...
$\infty$ grazie a tutti!!!

[DajeForte]

L'esercizio ti mostra che la convergenza in misura non implica la convergenza puntuale.
La successione è definita mediante una struttura triangolare $k in NN$ e $ i <= k$.

Ovvero

$f_1^{(1)}$
$f_1^{(2)}$, $f_2^{(2)}$
E così via...

[DavideGenova1]

Ah, ecco... Interessante successione. $\infty$ grazie!!!