Successione di Cauchy in spazio funzionale
Considero lo spazio metrico delle funzioni continue sul compatto $K$ con la norma della convergenza uniforme: $(C(K),||*||_(oo))$.
Sia $(f_n)_(n\inNN)$ una successione di Cauchy in $(C(K),||*||_(oo))$.
Questo significa che $AAepsilon>0$ $EE\barn\inNN$ tale che $AAn,m>=\barn$ si ha $||f_n-f_m||_(oo)
Sia $(f_n)_(n\inNN)$ una successione di Cauchy in $(C(K),||*||_(oo))$.
Questo significa che $AAepsilon>0$ $EE\barn\inNN$ tale che $AAn,m>=\barn$ si ha $||f_n-f_m||_(oo)
Risposte
E no, sei cascato proprio all'ultimo momento.
Non solo la successione è di Cauchy in ogni punto, ma la condizione di Cauchy è anche verificata in modo uniforme. Questo sembra un dettaglio ma è molto importante.
cioè $f_n(x)$ è di Cauchy per ogni $x\in K$.
Non solo la successione è di Cauchy in ogni punto, ma la condizione di Cauchy è anche verificata in modo uniforme. Questo sembra un dettaglio ma è molto importante.
Sono d'accodo ma in cosa sono cascato?
Cioè fissato $x\inK$ non ho dimostrato che $(f_n(x))_(n\inNN)$ è di Cauchy?
Cioè fissato $x\inK$ non ho dimostrato che $(f_n(x))_(n\inNN)$ è di Cauchy?
Si ma infatti questo è vero. Quello che tu non dici è che è vero qualcosa di molto più forte, e cioè che la condizione di Cauchy è verificata in modo uniforme rispetto ad $x$.
Provo a spiegarmi In formule. Le due affermazioni seguenti sono vere:
\[
f_n\ \text{è di Cauchy in }C(K) \Rightarrow\text{per ogni }x,\ f_n(x)\ \text{è di Cauchy};
\]
\[
f_n\ \text{è di Cauchy in }C(K) \Leftrightarrow f_n(x)\ \text{è di Cauchy uniformemente rispetto ad }x.
\]
Da come scrivi sembra invece che tu dica
\[
\tag{!!} f_n\ \text{è di Cauchy in }C(K) \Leftrightarrow\text{per ogni }x,\ f_n(x)\ \text{è di Cauchy};
\]
il che è falso.
Provo a spiegarmi In formule. Le due affermazioni seguenti sono vere:
\[
f_n\ \text{è di Cauchy in }C(K) \Rightarrow\text{per ogni }x,\ f_n(x)\ \text{è di Cauchy};
\]
\[
f_n\ \text{è di Cauchy in }C(K) \Leftrightarrow f_n(x)\ \text{è di Cauchy uniformemente rispetto ad }x.
\]
Da come scrivi sembra invece che tu dica
\[
\tag{!!} f_n\ \text{è di Cauchy in }C(K) \Leftrightarrow\text{per ogni }x,\ f_n(x)\ \text{è di Cauchy};
\]
il che è falso.
No no, io mi sono limitato ed esprimere la prima delle due affermazioni che hai scritto. Mi serviva sapere che $(f_n(x))_(n\inNN)$ è di Cauchy per dimostrare un altro risultato dunque ho "snobbato" il fatto di essere uniformemente di Cauchy. Tutto qui 
Ora sto provando a dimostrare che $C^1([0,1])$ con la norma $||f||_(C^1)=||f||_(oo)+||f'||_(oo)$ è spazio di Banach.
L'idea è di prendere una generica successione di Cauchy in $C^1([0,1])$ e mostrare che converge ad un elemento di $C^1([0,1])$.
Sia $(f_n)_(n\inNN)$ una successione di Cauchy in $C^1([0,1])$.
Allora $AAepsilon>0$ $EE\barn\inNN$ tale che $AAn,m>=\barn$ si abbia $||f_n-f_m||_(C^1)=||f_n-f_m||_(oo)+||(f_n-f_m)'||_(oo)
$\lim_{m \to \infty}|f_n(x)-f_m(x)|=|f_n(x)-f(x)|
Allora uso il fatto che $||(f_n-f_m)'||_(oo)=||f_n'-f_m'||_(oo)RR$ perchè $RR$ è completo.
$\lim_{m \to \infty}|f_n'(x)-f_m'(x)|=|f_n'(x)-g(x)|
Ora sto provando a dimostrare che $C^1([0,1])$ con la norma $||f||_(C^1)=||f||_(oo)+||f'||_(oo)$ è spazio di Banach.
L'idea è di prendere una generica successione di Cauchy in $C^1([0,1])$ e mostrare che converge ad un elemento di $C^1([0,1])$.
Sia $(f_n)_(n\inNN)$ una successione di Cauchy in $C^1([0,1])$.
Allora $AAepsilon>0$ $EE\barn\inNN$ tale che $AAn,m>=\barn$ si abbia $||f_n-f_m||_(C^1)=||f_n-f_m||_(oo)+||(f_n-f_m)'||_(oo)
$\lim_{m \to \infty}|f_n(x)-f_m(x)|=|f_n(x)-f(x)|
Allora uso il fatto che $||(f_n-f_m)'||_(oo)=||f_n'-f_m'||_(oo)
$\lim_{m \to \infty}|f_n'(x)-f_m'(x)|=|f_n'(x)-g(x)|
up, e buon anno a tutti gli amici di matematicamente! 
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