Successione Di Cauchy
Salve, ho problemi a capire la definizione della Successione di Cauchy... qualcuno potrebbe spiegarmela in dettaglio? Grazie in anticipo.
Risposte
una successione $S_n$ si dice di cauchy se
per ogni epsilon positivo esiste un v tale che la distanza fra $X_n$ e $X_m$ è minore di epsilon, per ogni m ed n maggiori di v.
questa è la definizione bella. ma in soldoni vuol dire che una successione è di cauchy se tu puoi scegliere un numero piccolo a piacere (epsilon) e trovi un sicuramente un elemento della successione tale per cui la distanza fra altri 2 elementi della della sucessione che stanno dopo l'elemento trovato, è minore dell'epsilon piccolo che avevi scelto.
per ogni epsilon positivo esiste un v tale che la distanza fra $X_n$ e $X_m$ è minore di epsilon, per ogni m ed n maggiori di v.
questa è la definizione bella. ma in soldoni vuol dire che una successione è di cauchy se tu puoi scegliere un numero piccolo a piacere (epsilon) e trovi un sicuramente un elemento della successione tale per cui la distanza fra altri 2 elementi della della sucessione che stanno dopo l'elemento trovato, è minore dell'epsilon piccolo che avevi scelto.
Perdonami ma continuo a non capire... ci sono quasi , ma vorrei più chiarezza :
"vuol dire che una successione è di cauchy se tu puoi scegliere un numero piccolo a piacere (epsilon) e trovi un sicuramente un elemento della successione tale per cui la distanza fra altri 2 elementi della della sucessione che stanno dopo l'elemento trovato, è minore dell'epsilon piccolo che avevi scelto."
non ho saputo ben interpretare questa frase .
"vuol dire che una successione è di cauchy se tu puoi scegliere un numero piccolo a piacere (epsilon) e trovi un sicuramente un elemento della successione tale per cui la distanza fra altri 2 elementi della della sucessione che stanno dopo l'elemento trovato, è minore dell'epsilon piccolo che avevi scelto."
non ho saputo ben interpretare questa frase .
allora facciamo un esempio, la successione $S_n = 1/(n^2)$
scriviamo un po' di termini:
$S_n:{1, 1/4, 1/9, 1/16, 1/25, 1/36, 1/49, 1/64, 1/81, 1/100, 1/121...}$
e poi si va avanti.
fissimo un epsilon piccolo a piacere:
$epsilon = 0.1$
possiamo osservare che a partire dall'elemento $S_4 = 1/16$ (quindi il v è 4) se tu fai la distanza fra 2 elementi a caso scelti dopo $S_4$, è sicuramente minore di epsilon che era 0,1... ma questa cosa per questa successione la puoi fare QUALUNQUE epsilon scegli. anche se scegli $epsilon = 0.000000000000000001$, troverai sicuramente un elemento $S_v$ (che ovviamente non sarà più $S_4$ ma magari sarà $S_1000000$) tale per cui tu peschi a caso 2 elelemtni dopo quell'elemento, ne fai la differenza e trovi un numero minore di epsilon. siccome puoi farlo per ogni epsilon che scegli, allora $1/n^2$ è di cauchy.
prova a fare il discorso con la successione $S_n = n$...
scriviamo un po' di termini:
$S_n:{1, 1/4, 1/9, 1/16, 1/25, 1/36, 1/49, 1/64, 1/81, 1/100, 1/121...}$
e poi si va avanti.
fissimo un epsilon piccolo a piacere:
$epsilon = 0.1$
possiamo osservare che a partire dall'elemento $S_4 = 1/16$ (quindi il v è 4) se tu fai la distanza fra 2 elementi a caso scelti dopo $S_4$, è sicuramente minore di epsilon che era 0,1... ma questa cosa per questa successione la puoi fare QUALUNQUE epsilon scegli. anche se scegli $epsilon = 0.000000000000000001$, troverai sicuramente un elemento $S_v$ (che ovviamente non sarà più $S_4$ ma magari sarà $S_1000000$) tale per cui tu peschi a caso 2 elelemtni dopo quell'elemento, ne fai la differenza e trovi un numero minore di epsilon. siccome puoi farlo per ogni epsilon che scegli, allora $1/n^2$ è di cauchy.
prova a fare il discorso con la successione $S_n = n$...
Il concetto di successione di Cauchy ha senso solo per gli spazi metrici.
Una cosa importante da aggiungere: dalla definizione di limite, risulta che ogni successione convergente è anche una successione di Cauchy. In generale però non è vero il contrario, cioè non è detto che una successione di Cauchy converga.
Quando però ciò avviene, ovvero quando ogni successione di Cauchy converge, lo spazio metrico considerato si dice "completo".
Facciamo qualche esempio:
1) $RR$ euclideo è completo
2) $RR^n$ euclideo in generale è completo
3) $CC^n$ con la metrica euclidea è completo
4) $QQ$ con la metrica euclidea non è completo
Una cosa importante da aggiungere: dalla definizione di limite, risulta che ogni successione convergente è anche una successione di Cauchy. In generale però non è vero il contrario, cioè non è detto che una successione di Cauchy converga.
Quando però ciò avviene, ovvero quando ogni successione di Cauchy converge, lo spazio metrico considerato si dice "completo".
Facciamo qualche esempio:
1) $RR$ euclideo è completo
2) $RR^n$ euclideo in generale è completo
3) $CC^n$ con la metrica euclidea è completo
4) $QQ$ con la metrica euclidea non è completo
Grazie per l'aiuto, siete stati molto esaurienti.
Non sono convinto sul fatto che "non è detto che ogni successione di Cauchy converga"...
Poichè il CRITERIO DI CONVERGENZA DI CAUCHY DICE :
an è convergente se e solo se an è di cauchy
e ciò è dimostrato da una proposizione e due lemma:
1) Proposizione : Ogni successione convergente è di Cauchy
2) Lemma I : Ogni successione di Cauchy è limitata
Teorema di Bolzano-Weierstrass: Se an è limitata allora esiste almeno una sua estratta convergente
3) Lemma II: Se an è di Cauchy ed esiste una estratta convergente ad a appartenente ad R allora an ->a
O non ho capito bene il criterio oppure qualcosa è sbagliata ... Fatemi sapere in ogni caso.
Non sono convinto sul fatto che "non è detto che ogni successione di Cauchy converga"...
Poichè il CRITERIO DI CONVERGENZA DI CAUCHY DICE :
an è convergente se e solo se an è di cauchy
e ciò è dimostrato da una proposizione e due lemma:
1) Proposizione : Ogni successione convergente è di Cauchy
2) Lemma I : Ogni successione di Cauchy è limitata
Teorema di Bolzano-Weierstrass: Se an è limitata allora esiste almeno una sua estratta convergente
3) Lemma II: Se an è di Cauchy ed esiste una estratta convergente ad a appartenente ad R allora an ->a
O non ho capito bene il criterio oppure qualcosa è sbagliata ... Fatemi sapere in ogni caso.
Ribadisco che, in generale, una successione di Cauchy in uno spazio metrico non è detto che converga.
Quello che dici tu, cioè il fatto che una successione sia convergente se e solo se è di Cauchy è una proprietà dei soli spazi "completi" rispetto alla metrica.
Probabilmente tu stai dando per scontato che ci si muova in $RR$ euclideo, che come ti ho detto nel post precedente è uno spazio completo, ma sappi che in generale non è così.
Passiamo a un esempio: considera $QQ$ dotato della metrica euclidea e considera inoltre una successione di soli numeri razionali, che tende a un numero irrazionale... ovviamente questa successione in $QQ$ non converge, ma nulla le vieta di essere una successione di Cauchy.
Quello che dici tu, cioè il fatto che una successione sia convergente se e solo se è di Cauchy è una proprietà dei soli spazi "completi" rispetto alla metrica.
Probabilmente tu stai dando per scontato che ci si muova in $RR$ euclideo, che come ti ho detto nel post precedente è uno spazio completo, ma sappi che in generale non è così.
Passiamo a un esempio: considera $QQ$ dotato della metrica euclidea e considera inoltre una successione di soli numeri razionali, che tende a un numero irrazionale... ovviamente questa successione in $QQ$ non converge, ma nulla le vieta di essere una successione di Cauchy.
perdonami, la mia risposta è data dalla mia ignoranza sugli spazi e le metriche. A questo punto sarei curioso di sapere qualcosa in più riguardo a queste cose... 
. Credo arrivato a questo punto che tutta l'Analisi Matematica 1 che studiamo si basi su un R euclideo... anche se non espressamente supposto. Grazie comunque per la delucidazione.
. Credo arrivato a questo punto che tutta l'Analisi Matematica 1 che studiamo si basi su un R euclideo... anche se non espressamente supposto. Grazie comunque per la delucidazione.
"narem":
Non sono convinto sul fatto che "non è detto che ogni successione di Cauchy converga"...
visto che tu stai facendo analisi I, giustamente ti è stato proposto questo importante teorema (e sua dim)
in $RR$ una successione converge se e solo se è una successione di Cauchy
questo tuttavia non vale in altri contesti
per esempio, non vale in $QQ$
oppure in certi "spazi funzionali" che, magari, studierai dopo
è essenzialmente questo che voleva dire Kroldar
in generale, è sempre vero che, se una successione è convergente, allora è di Cauchy
il viceversa non vale sempre (ad esmepio, non vale in $QQ$, come detto)
ora, per vari motivi, è comodo lavorare in spazi in cui le successioni di Cauchy convergono (e li chiamiamo spazi "completi")
quindi, ci fa piacere sapere che $RR$ è completo
ciao
L'esempio più semplice e più antico di una successione di numeri razionali che converge a un limite irrazionale è la successione :
$ n rarr (1+1/n)^n$ che converge al numero irrazionale $ e $ .
Questa successione, in quanto convergente in $RR$ è di Cauchy in $RR$ e dunque anche in $QQ$ ; tuttavia non è convergente in $QQ$.
$ n rarr (1+1/n)^n$ che converge al numero irrazionale $ e $ .
Questa successione, in quanto convergente in $RR$ è di Cauchy in $RR$ e dunque anche in $QQ$ ; tuttavia non è convergente in $QQ$.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo