Successione di Cauchy

[miry93-thebest]

ciao ! devo dimostrare che in Rn una successione di Cauchy è convergente, ma non riesco a dimostrare neanche che è limitata come posso procedere? grazie

[Noisemaker]

Considera una una successione $$\{{\bf {x}}_{n}\}\in \mathbb{R}^n$$
di Cauchy; poichè la successione ha componenti:
$$\{{\bf {x}}_{n}\}=(x_n^1,x_n^2,...,x_n^k),$$
sarà
$$\left|x_n^i-x_m^i\right|\le d\left({\bf {x}}_{n},{\bf {x}}_{m}\right),\quad \forall i=1,2,....n.$$
Per ogni $i$ fissato la successione (numerica) $\{x_n^i\}$ delle componenti $i-$esime è una successione di Cauchy in $\RR$ e dunque convergente. Viceversa, sia
\[x^i=\lim_{n\to+\infty} x_n^i \]
e sia
$${\bf x}=(x^1,x^2,....,x^n)\in\mathbb{R}^n;$$
allora
\[d\left({\bf {x}}_{n},{\bf x }\right)\le\sum_{i=1}^{k} \left|x_n^i-x^i\right|,\]
percui la distanza
\[d\left({\bf {x}}_{n},{\bf x }\right) \]
tende a zero quando $n\to+\infty,$ pertanto la successione
$$\{{\bf {x}}_{n}\}\to{\bf x}\in\mathbb{R}^n.$$

[gugo82]

[xdom="gugo82"]Chiudo.[/xdom]