Successione dei minimi

[ficus2002]

Sia $a_n$ una successione a valori reali positivi infinitesima (tale che $lim_{n\rightarrow +oo} a_n=0$). Sia $A_n$ la successione $A_n=min_{k\le n} a_k$. Le successioni $a_n$ e $A_k$ sono asintotiche?

[Kroldar]

a occhio mi sembra di si visto che $a_n$ può assumere solo valori positivi, dunque per essere infitesima all'infinito allora deve esistere un $n_0$ tale che per $n > n_0$ la successione diventa decrescente, dunque $A_n$ dovrebbe coincidere con $a_n$ per $n > n_0$, in particolare per $n$ arbitrariamente grande $a_n = A_n$ quindi il limite del rapporto dovrebbe essere 1

[ficus2002]

"Kroldar":per essere infitesima all'infinito allora deve esistere un $n_0$ tale che per $n > n_0$ la successione diventa decrescente

In generale, la successione $a_n$ può non essere definitivamente decrescente. Prendi ad esempio $a_n=1/n$ se $n$ è pari e $a_n=1/(n^2)$ per $n$ dispari: è a termini positivi, infinitesima ma non è definitivamente decrescente.

[ficus2002]

Adesso che ci penso, per questo esempio è $A_n=1/(n-1)^2$ se $n>0$ è pari e $A_n=1/(n^2)$ se $n$ è dispari, in pratica:
$a_n=1,1/2,1/9,1/4,1/25,1/6,1/49,1/8,\ldots$
$A_n=1,1/2,1/9,1/9,1/25,1/25,1/49,1/49\ldots$
pertanto
$A_n/a_n=1,1,1,4/9,1,6/25,1,8/49,\ldots$
ossia $A_n/a_n=1$ se $n$ è dispari, mentre $A_n/a_n=n/(n-1)^2$ se $n>0$ è pari. Pertanto in questo caso il limite della successione $A_n/a_n$ non esiste, ma esiste il limite superiore e vale 1...

A questo punto chiedo: sia $a_n$ una successione a termini positivi e sia $A_n$ la succesione $A_n=min_{k\le n} a_k$. E' vero in generale che il limite superiore di $a_n/A_n$ è $1$?