Successione definita su insieme "coincidente in un estremo"

[Gandalf73]

Carissimi,
come notato mi sto cimentando con il rispolvero dei concetti di analisi.
Tra le successioni di funzioni più ostiche ho trovato quelle definite su insiemi diversi.
Secondo voi per questa che vi presento può esserci un errore nella definizione?
(c'è un estremo incluso in entrambi gli insiemi..per me è un refuso nel testo probabilmente interpretato male)

\begin{equation*} f_n(x)=\begin{cases} sin\left(\frac{x}{n}\right), &0\le x \le \frac{n+1}{n}\\ n(2+x)^n, & \frac{n+1}{n}\le x \le 2 \end{cases}\end{equation*}

Per questa si chiede comunque di tracciare le $ f_1,f_3,f_6 $ e di studiare la convergenza puntuale ed uniforme.
Un saluto ed un grazie a tutti.
A.

[anonymous_0b37e9]

Premesso che il refuso non ha alcuna rilevanza, per quanto riguarda la convergenza puntuale non dovrebbe essere difficile dimostrare le seguenti:

$[0 lt= x lt= 1] rarr [lim_(n->+oo)sin(x/n)=0]$

$[1 lt x lt= 2] rarr [lim_(n->+oo)n(2+x)^n=+oo]$

[Gandalf73]

Grazie mille in primis per la risposta.Verificato ciò,posso dire che internamente al primo intervallo converge in modo uniforme?Il seno per n grande potrebbe essere maggiorato dal suo argomento ed il massimo è l estremo superiore dell intervallo.Il limite tenderebbe a zero...da qui l uniforme convergenza nell intervallo in cui la $ f_n $ risulta definita..non so se corretto il mio ragionamento.

[anonymous_0b37e9]

"Gandalf73":
Il seno per n grande potrebbe essere maggiorato dal suo argomento ...

Veramente:

$AA n in NN : [0 lt= x lt= 1] rarr [sin(x/n) lt x/n]$

Insomma, per maggiorare non è necessario che n sia sufficientemente grande.

"Gandalf73":
... ed il massimo è l'estremo superiore dell'intervallo ...

Non ho compreso del tutto. Probabilmente intendi servirti della seguente:

$[lim_(n->+oo)max|f_n(x)-f(x)|=0] ^^ [0 lt= x lt= 1] rarr$

$rarr [lim_(n->+oo)maxsin(x/n)=0] ^^ [0 lt= x lt= 1] rarr$

$rarr [lim_(n->+oo)sin(1/n)=0]$

"Gandalf73":
... Il limite tenderebbe a zero ...

Una precisazione. Nella definizione $[lim_(n->+oo)a_n=l]$ si può dire che:

1. La successione $a_n$ tende al limite $l$.

2. Il limite della successione $a_n$ è $l$.

ma non ha alcun senso dire che il limite tende a $l$. Insomma, se la successione tende a $l$, il limite è $l$.

[Gandalf73]

Di fatto il mio ragionamento voleva esser quello ma...in virtù della maggiorazione avrei considerato la funzione $ x/n $ per lo studio assumendo come sup il valore all estremo $ (n+1)/n $.Il limite di detta successione fa 0 per il quadrato presente al denominatore e andrei a concludere che nell'insieme di definizione converge uniformemente.Non so se il ragionamento presenta qualche vizio e/o difetto..salvo il refuso che se fosse cambierebbe tutto..

[anonymous_0b37e9]

"Gandalf73":
... salvo il refuso che se fosse cambierebbe tutto ...

Ripeto, il refuso non ha alcuna rilevanza.

"Gandalf73":
... assumendo come sup il valore all estremo $(n+1)/n$ ...

Veramente, poiché la convergenza uniforme si studia per $[0 lt= x lt= 1]$, l'estremo superiore è assunto per $x=1$. Forse per questo attribuisci importanza al refuso.

[Gandalf73]

Esatto il mio dubbio è se ci fosse quel refuso dove andremmo a prendere il punto $ x=1 $ oppure $ x=(n+1)/n$ ?Nel secondo insieme quindi altra definizione o come abbiamo ragionato nel primo?

[anonymous_0b37e9]

"Gandalf73":
... se ci fosse quel refuso dove andremmo a prendere il punto $x=1$ oppure $x=(n+1)/n$ ...

Ripeto, non cambierebbe assolutamente nulla. Poiché la convergenza uniforme si studierebbe comunque per $[0 lt= x lt= 1]$, l'estremo superiore sarebbe assunto comunque per $[x=1]$. Se sei ancora perplesso, ti invito a rifletterci più attentamente.

[Gandalf73]

Aspetta forse mi sono spiegato male riflettendoci su
Se definissimo la successione in questo modo:

\[ \begin{equation*} f_n(x)=\begin{cases} sin\left(\frac{x}{n}\right), &0\le x < \frac{n+1}{n}\\ n(2+x)^n, & \frac{n+1}{n}\le x \le 2 \end{cases}\end{equation*} \]:

(quindi il secondo estremo incluso nel secondo insieme) se non ho capito male, la convergenza uniforme, si avrebbe nell'insieme:
$ [0,1[ $ e non in $ [0,1] $
Questo perchè la funzione è crescente nell'intervallo ma il suo estremo superiore non è incluso in esso. Corretto?

[anonymous_0b37e9]

Delle due l'una:

1. $[0 lt= x lt= (n+1)/n] rarr [f_n(x)=sin(x/n)] ^^ [(n+1)/n lt x lt= 2] rarr [f_n(x)=n(x+2)^n]$

2. $[0 lt= x lt (n+1)/n] rarr [f_n(x)=sin(x/n)] ^^ [(n+1)/n lt= x lt= 2] rarr [f_n(x)=n(x+2)^n]$

ma in entrambi i casi le conclusioni sono le stesse.

1. $[0 lt= x lt= (n+1)/n] rarr [f_n(x)=sin(x/n)] ^^ [(n+1)/n lt x lt= 2] rarr [f_n(x)=n(x+2)^n]$

Intanto:

$[lim_(n->+oo)(n+1)/n=1^+] rarr [AAx : 1 lt x lt= 2 EE n_x in NN : n gt n_x rarr (n+1)/n lt x lt= 2]$

Quindi:

$[AAx : 1 lt x lt= 2] rarr [f_n(x)=n(x+2)^n] rarr [lim_(n->+oo)n(x+2)^n=+oo]$

Inoltre:

$[lim_(n->+oo)(n+1)/n=1^+] rarr [AAx : 0 lt= x lt= 1 AA n in NN : 0 lt= x lt (n+1)/n]$

Quindi:

$[AAx : 0 lt= x lt= 1] rarr [f_n(x)=sin(x/n)] rarr [lim_(n->+oo)sin(x/n)=0]$

Insomma:

$[0 lt= x lt= 1] rarr [f(x)=0] ^^ [1 lt x lt= 2] rarr [f(x)=+oo]$

Infine, per la convergenza uniforme, ovviamente, nel solo intervallo $[0 lt= x lt= 1]:$

$[lim_(n->+oo)max|f_n(x)-f(x)|=lim_(n->+oo)maxsin(x/n)=lim_(n->+oo)sin(1/n)=0]$

visto che $[sin(x/n)]$ assume valore massimo per $[x=1]$

A questo punto, dovresti indicare quali argomentazioni sopra esposte non sarebbero applicabili anche al secondo caso.

2. $[0 lt= x lt (n+1)/n] rarr [f_n(x)=sin(x/n)] ^^ [(n+1)/n lt= x lt= 2] rarr [f_n(x)=n(x+2)^n]$

[Gandalf73]

Hai ragione,ci ho riflettuto su.
Mi ha ingannato il limite.Proprio quello.Il valore $ x=1 $ è comunque SEMPRE incluso nel primo insieme di definizione in quanto ad esso "interno". Infatti il punto $ (n+1)/n $ tende ad 1 ma è sempre maggiore di quest'ultimo!Spero di non aver errato e ti ringrazio per i preziosi dettagli.
La cosa che mi ha illuminato è stata quel " $ 1^+ $ " .
Un saluto e grazie ancora!

[anonymous_0b37e9]

"Gandalf73":
La cosa che mi ha illuminato è stata quel $[1^+]$ ...

Hai ragione, solitamente non si specifica. Anche perché si è soliti formalizzare dando per scontato certi dettagli. Ovviamente, si presume che l'interessato abbia la sufficiente esperienza. Dai tempo al tempo. Anche perché, se sei riuscito a comprendere profondamente i contenuti proposti, sei senz'altro sulla buona strada. Buon proseguimento.