Successione definita per ricorrenza - Trasformata Z

[Karzak]

Buongiorno, qualcuno potrebbe correggermi la parte iniziale di quest'esercizio perchè non sono sicuro di averlo impostato correttamente:

$\{(x(n+2)-x(n+1)-2x(n)=a_n),(x(0)=1),(x(1)=1):}$

per $n>0$

$a_n={(n,if text{n è pari}),(n-1,if text{n è dispari}):}$

SVOLGIMENTO
Utilizzo le trasformate Z
$z^2X(z)-zX(z)-2X(z)-z^2-z=Z[a_n*u(n)]$
dove con $X(z)$ indico la trasformata Z di $x(n)$

Calcolo di $Z[a_n*u(n)]$
$Z[a_n*u(n)]=\sum_{n=0}^\infty\(a_n*z^-n)=\sum_{n=0}^\infty\(2n*z^-2n)+\sum_{n=0}^\infty\((2n-2+1)z^-(2n-2+1))$

Quindi:
$Z[a_n*u(n)]=\sum_{n=0}^\infty\(2n*z^-2n)+\sum_{n=0}^\infty\((2n-1)z^-(2n-1))$

Da qua in poi so che devo calcolare la somma di quelle due serie, isolare la trasformate e usare la formula di antitrasformazione per calcolare la successione, però non sono certo di non aver fatto errori. Grazie