Successione definita per ricorrenza (maledetta!!!)
Si ha una successione definita per ricorrenza:
$a_0 >= -1 \wedge a_{ n+1} = \sqrt{\frac{1+a_n}{2}} $
Sono arrivato a dimostrare solo una fetta dell convergenza:
Intanto provo che tutti i termini al più il primo sono maggiori di 0 per induzione:
$a_1>0$ ora si vede subito che $a_n>0 \Rightarrow \ a_{n+1} >0$
Ora ho cercato dapprima il limite e poi ho visto se la successione fosse convergente ad esso:
$L=\sqrt{\frac{1+L}{2}}$ mi esce fuori $L=1$ e $L=-\frac{1}{2} $ ma la seconda è subito scartata poiché la successione è definitivamente positiva.
Dunque ora vedo se la successione converge a limite pongo prima $a_0<1$ e vedo se la successione è crescente:
$\sqrt{\frac{1+a_n}{2}} - a_n >0 $ ???
Arrivo ad una situazione del tipo (eheh
) :
$\frac{(1+a_n)+ a_{n}^2}{2}-\sqrt{(1+a_n)(a_{n}^2)} $ che per AM/GM e maggiore o uguale a 0 ma l'uguaglianza viene solo quando $a_n=L=1$ quindi per $a_0< 1$ è convergente a $1$
Per $a_0=1$ le considerazioni sono banali.
Non riesco a dire che la successione è decrescente per $a_0 >1$ poi se il discorso è lo stesso non è limitata superiormente ,se fosse decrescente il limite inferiore sarebbe 1 ed è fatta....qualcuno può aiutarmi???
$a_0 >= -1 \wedge a_{ n+1} = \sqrt{\frac{1+a_n}{2}} $
Sono arrivato a dimostrare solo una fetta dell convergenza:
Intanto provo che tutti i termini al più il primo sono maggiori di 0 per induzione:
$a_1>0$ ora si vede subito che $a_n>0 \Rightarrow \ a_{n+1} >0$
Ora ho cercato dapprima il limite e poi ho visto se la successione fosse convergente ad esso:
$L=\sqrt{\frac{1+L}{2}}$ mi esce fuori $L=1$ e $L=-\frac{1}{2} $ ma la seconda è subito scartata poiché la successione è definitivamente positiva.
Dunque ora vedo se la successione converge a limite pongo prima $a_0<1$ e vedo se la successione è crescente:
$\sqrt{\frac{1+a_n}{2}} - a_n >0 $ ???
Arrivo ad una situazione del tipo (eheh
) :$\frac{(1+a_n)+ a_{n}^2}{2}-\sqrt{(1+a_n)(a_{n}^2)} $ che per AM/GM e maggiore o uguale a 0 ma l'uguaglianza viene solo quando $a_n=L=1$ quindi per $a_0< 1$ è convergente a $1$
Per $a_0=1$ le considerazioni sono banali.
Non riesco a dire che la successione è decrescente per $a_0 >1$ poi se il discorso è lo stesso non è limitata superiormente ,se fosse decrescente il limite inferiore sarebbe 1 ed è fatta....qualcuno può aiutarmi???
Risposte
A me risulta che $a_1\ge 0$, non ti pare? Poi sicuramente $a_2>0$, e quindi la prova per induzione.
Per risolvere la disequazione
$\sqrt{{1+a_n}/{2}}-a_n>0$
devi scriverla così $\sqrt{{1+a_n}/{2}}>a_n$ ed elevare al quadrato ambo i membri trovando
${1+a_n}/2>a_n^2$ e quindi $2a_n^2-a_n-1<0$.
Per risolvere la disequazione
$\sqrt{{1+a_n}/{2}}-a_n>0$
devi scriverla così $\sqrt{{1+a_n}/{2}}>a_n$ ed elevare al quadrato ambo i membri trovando
${1+a_n}/2>a_n^2$ e quindi $2a_n^2-a_n-1<0$.
"ciampax":
A me risulta che $a_1\ge 0$, non ti pare? Poi sicuramente $a_2>0$, e quindi la prova per induzione.
Per risolvere la disequazione
$\sqrt{{1+a_n}/{2}}-a_n>0$
devi scriverla così $\sqrt{{1+a_n}/{2}}>a_n$ ed elevare al quadrato ambo i membri trovando
${1+a_n}/2>a_n^2$ e quindi $2a_n^2-a_n-1<0$.
quindi per $0\ge a_0 <1$ è verificata ,altrimenti viene decrescente per $a_0 >1$ ,grazie!! Senti ma come mai non mi veniva per Am-Gm??
AM-GM is?
Media aritmetica e media geometrica....vb fa nulla. Provo a pensarci un po da solo(non voglio tediarti ancora dato che hai già risolto,inoltre mi piace arrivarci da solo a questa cose)
Grazie mille per l'aiuto ciampax
Grazie mille per l'aiuto ciampax
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