Successione definita per ricorrenza
Buonasera a tutti!
Devo studiare il carattere e trovare il limite per $n->+oo$ della successione così definita:
$a_n={(a_1=1), (a_(n+1)=1+1/a_n):}$.
Ho osservato, trovando alcuni valori, che la sottosuccessione dei termini di posto pari è decrescente, mentre quella dei posti dispari è crescente. Ovviamente devo provare per induzione tali fatti ma non saprei esattamente come procedere. Ho svolto esercizi simili, ma in questo caso come lo provo? Per la ricerca del limite come devo comportarmi dal momento che ho due sottosuccessioni? [Intuitivamente penserei che le due sottosuccessioni convergono al medesimo limite...].
Intanto, per cominciare, è corretta la scrittura: $1<=a_n<=2$? Ho ragionato così: $a_1=1$, $a_(n+1)$ sarà anch'esso positivo dal momento che viene espresso come somma di termini positivi. Per quanto riguarda la condizione $a_n<=2$, ottengo (svolgendo i calcoli) che deve essere $a_n>=1$... arrivato a questo punto come concludo?
Vi ringrazio anticipatamente per le risposte.
Andrea
Devo studiare il carattere e trovare il limite per $n->+oo$ della successione così definita:
$a_n={(a_1=1), (a_(n+1)=1+1/a_n):}$.
Ho osservato, trovando alcuni valori, che la sottosuccessione dei termini di posto pari è decrescente, mentre quella dei posti dispari è crescente. Ovviamente devo provare per induzione tali fatti ma non saprei esattamente come procedere. Ho svolto esercizi simili, ma in questo caso come lo provo? Per la ricerca del limite come devo comportarmi dal momento che ho due sottosuccessioni? [Intuitivamente penserei che le due sottosuccessioni convergono al medesimo limite...].
Intanto, per cominciare, è corretta la scrittura: $1<=a_n<=2$? Ho ragionato così: $a_1=1$, $a_(n+1)$ sarà anch'esso positivo dal momento che viene espresso come somma di termini positivi. Per quanto riguarda la condizione $a_n<=2$, ottengo (svolgendo i calcoli) che deve essere $a_n>=1$... arrivato a questo punto come concludo?
Vi ringrazio anticipatamente per le risposte.
Andrea
Risposte
In maniera elementare si può procedere in questo modo.
Come hai già osservato, si può dimostrare che $1\le a_n\le 2$ per ogni $n$.
Basta prima dimostrare per induzione che $a_n\ge 1$ per ogni $n$.
Una volta dimostrato questo, ancora per induzione si dimostra che $a_n\le 2$ per ogni $n$.
Adesso individuiamo i "candidati" limiti.
Se $a_n\to \phi$, allora dobbiamo avere che $\phi = 1+\frac{1}{\phi}$.
Risolvendo si ha che $\phi^2-\phi-1 = 0$, cioè $\phi = \frac{1\pm \sqrt{5}}{2}$. Dovendo essere $1\le\phi\le 2$, rimane l'unico candidato $\phi = \frac{1+\sqrt{2}}{2}$ (numero noto come sezione aurea).
Rimane da dimostrare che $a_n\to \phi = \frac{1+\sqrt{2}}{2}$.
Anche qui, hai già osservato che le sottosuccessione $a_{2n}$ e $a_{2n+1}$ sono monotone.
Rendiamo rigorosa la tua osservazione.
Dalla relazione di ricorrenza hai che
$a_{n+2} = 1 + \frac{1}{a_{n+1}} = 1 + \frac{1}{1+\frac{1}{a_n}} = 1 + \frac{a_n}{1+a_n} = 2 - \frac{1}{1+a_n}$.
Le seguenti verifiche richiedono qualche calcolo ma non sono difficili:
1) se $a_n \in [1,\phi]$, allora anche $a_{n+2}\in [1, \phi]$ e $a_{n+2} \ge a_n$;
2) se $a_n \in [\phi, 2]$, allora anche $a_{n+2}\in [\phi, 2]$ e $a_{n+2} \le a_n$.
Di conseguenza, se consideri $b_k = a_{2k-1}$ (sottosuccessione di posto dispari), avrai che $b_1 = a_1 = 1$; per il punto 1) deduci che $(b_k)$ è monotona crescente (e limitata superiormente da $\phi$). Come già fatto per $(a_n)$, l'unico limite possibile è $\phi$.
Se invece consideri $c_k = a_{2k}$ (sottosuccessione di posto pari), hai che $c_1 = a_2 = 1 + 1/a_1 = 2$; per il punto 2) deduci che $(c_k)$ è monotona decrescente (e limitata inferiormente da $\phi$). Ancora una volta, l'unico limite possibile è $\phi$.
In conclusione, tutta la successione $(a_n)$ converge a $\phi$.
Come hai già osservato, si può dimostrare che $1\le a_n\le 2$ per ogni $n$.
Basta prima dimostrare per induzione che $a_n\ge 1$ per ogni $n$.
Una volta dimostrato questo, ancora per induzione si dimostra che $a_n\le 2$ per ogni $n$.
Adesso individuiamo i "candidati" limiti.
Se $a_n\to \phi$, allora dobbiamo avere che $\phi = 1+\frac{1}{\phi}$.
Risolvendo si ha che $\phi^2-\phi-1 = 0$, cioè $\phi = \frac{1\pm \sqrt{5}}{2}$. Dovendo essere $1\le\phi\le 2$, rimane l'unico candidato $\phi = \frac{1+\sqrt{2}}{2}$ (numero noto come sezione aurea).
Rimane da dimostrare che $a_n\to \phi = \frac{1+\sqrt{2}}{2}$.
Anche qui, hai già osservato che le sottosuccessione $a_{2n}$ e $a_{2n+1}$ sono monotone.
Rendiamo rigorosa la tua osservazione.
Dalla relazione di ricorrenza hai che
$a_{n+2} = 1 + \frac{1}{a_{n+1}} = 1 + \frac{1}{1+\frac{1}{a_n}} = 1 + \frac{a_n}{1+a_n} = 2 - \frac{1}{1+a_n}$.
Le seguenti verifiche richiedono qualche calcolo ma non sono difficili:
1) se $a_n \in [1,\phi]$, allora anche $a_{n+2}\in [1, \phi]$ e $a_{n+2} \ge a_n$;
2) se $a_n \in [\phi, 2]$, allora anche $a_{n+2}\in [\phi, 2]$ e $a_{n+2} \le a_n$.
Di conseguenza, se consideri $b_k = a_{2k-1}$ (sottosuccessione di posto dispari), avrai che $b_1 = a_1 = 1$; per il punto 1) deduci che $(b_k)$ è monotona crescente (e limitata superiormente da $\phi$). Come già fatto per $(a_n)$, l'unico limite possibile è $\phi$.
Se invece consideri $c_k = a_{2k}$ (sottosuccessione di posto pari), hai che $c_1 = a_2 = 1 + 1/a_1 = 2$; per il punto 2) deduci che $(c_k)$ è monotona decrescente (e limitata inferiormente da $\phi$). Ancora una volta, l'unico limite possibile è $\phi$.
In conclusione, tutta la successione $(a_n)$ converge a $\phi$.
Ti ringrazio per la risposta precisa e puntuale. [Ad occhio la successione assegnata sembra avere a che fare con i numeri di Fibonacci]
Tuttavia ho ancora qualche perplessità:
a) Devo provare per induzione che $a_n>=1$. L'ho provato così: si osserva che $a_1=1$ e quindi la base dell'induzione è verificata. Suppongo che risulti $a_n>=1$ e devo provare che $a_(n+1)>=1$. Allora, essendo $a_(n+1)=1+1/a_n$, dovrà risultare $1+1/a_n>=1$, da cui $0>=-1$: relazione banalmente vera. Quindi è provato che $a_n>=1$, $AA n in NN$.
b) Non ho ben chiare le verifiche che devo eseguire. Potresti illustrarmene una? In particolare come lego lo studio che ho fatto su $a_(n+2)$ con le sottosuccessioni di posto pari e di posto dispari?
Tuttavia ho ancora qualche perplessità:
a) Devo provare per induzione che $a_n>=1$. L'ho provato così: si osserva che $a_1=1$ e quindi la base dell'induzione è verificata. Suppongo che risulti $a_n>=1$ e devo provare che $a_(n+1)>=1$. Allora, essendo $a_(n+1)=1+1/a_n$, dovrà risultare $1+1/a_n>=1$, da cui $0>=-1$: relazione banalmente vera. Quindi è provato che $a_n>=1$, $AA n in NN$.
b) Non ho ben chiare le verifiche che devo eseguire. Potresti illustrarmene una? In particolare come lego lo studio che ho fatto su $a_(n+2)$ con le sottosuccessioni di posto pari e di posto dispari?
Dimostriamo ad esempio 1).
Sia $a_n \in [1, \phi]$.
Dimostriamo inizialmente che $a_{n+2}\le \phi$ (sappiamo già che $a_{n+2}\ge 1$).
Abbiamo che (tralascio alcuni passaggi algebrici):
$a_{n+2} = 2 - \frac{1}{1+a_n} \le 2 - \frac{1}{1+\phi} = ["calcoli..."] = \frac{4+2\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}} = ["razionalizzazione"] = \phi$.
Dimostriamo poi che $a_{n+2}\ge a_n$, cioè che $2 - \frac{1}{1+a_n} \ge a_n$.
Poiché $a_n\ge 1$, tale disequazione è equivalente a $a_n^2-a_n-1\le 0$, che è soddisfatta in $[1, \phi]$, in quanto l'insieme delle soluzioni della disequazione $x^2-x-1\le 0$ è l'intervallo $[\frac{1-\sqrt{5}}{2}, \phi]$.
Analogamente si dimostra 2).
Per le sottosuccessioni: sia per $(b_k)$ che per $(c_k)$, incrementare $k$ di una unità significa incrementare l'indice $n$ di $(a_n)$ di due unità.
Ad esempio:
$c_{k+1} = a_{2k+2} = 2-\frac{1}{1+a_{2k}} = 2- \frac{1}{1+c_k}$,
e analogamente per $b_{k+1}$.
Sia $a_n \in [1, \phi]$.
Dimostriamo inizialmente che $a_{n+2}\le \phi$ (sappiamo già che $a_{n+2}\ge 1$).
Abbiamo che (tralascio alcuni passaggi algebrici):
$a_{n+2} = 2 - \frac{1}{1+a_n} \le 2 - \frac{1}{1+\phi} = ["calcoli..."] = \frac{4+2\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}} = ["razionalizzazione"] = \phi$.
Dimostriamo poi che $a_{n+2}\ge a_n$, cioè che $2 - \frac{1}{1+a_n} \ge a_n$.
Poiché $a_n\ge 1$, tale disequazione è equivalente a $a_n^2-a_n-1\le 0$, che è soddisfatta in $[1, \phi]$, in quanto l'insieme delle soluzioni della disequazione $x^2-x-1\le 0$ è l'intervallo $[\frac{1-\sqrt{5}}{2}, \phi]$.
Analogamente si dimostra 2).
Per le sottosuccessioni: sia per $(b_k)$ che per $(c_k)$, incrementare $k$ di una unità significa incrementare l'indice $n$ di $(a_n)$ di due unità.
Ad esempio:
$c_{k+1} = a_{2k+2} = 2-\frac{1}{1+a_{2k}} = 2- \frac{1}{1+c_k}$,
e analogamente per $b_{k+1}$.
Tutto chiaro. Dunque deduco che il termine $a_(n+2)$ e le proprietà verificate sono servite proprio perchè vi è una relazione tra l'indice $k$ ed $n$, giusto?
La dimostrazione per induzione, indicata da me nel punto a) è corretta?
Mi scuso per le numerose domande ma in ogni questione matematica voglio vederci chiaro!
La dimostrazione per induzione, indicata da me nel punto a) è corretta?
Mi scuso per le numerose domande ma in ogni questione matematica voglio vederci chiaro!
Sì; io avrei detto che $1+\frac{1}{a_n} > 1$ per $a_n\ge 1$ per il semplice fatto che $1+["numero positivo"] > 1$.
Sì esatto. Osservavo un'altra cosa: l'affermare ad esempio che $a_n in [phi;2]$ non equivale ad affermare che nell'intervallo $[phi;2]$ vi stanno tutti i valori della sottosuccessione dei termini di posto pari? D'altra parte osserviamo che: $a_2=2$, $a_4=5/3$, ... . Sbaglio?
In altri termini, avendo "ristretto" $a_n$ dapprima all'intervallo $[1;phi]$ e poi $[phi;2]$, non significa che nel primo caso si considerano i valori della sottosuccessione $a_(2k+1)$ e nel secondo caso quelli di $a_(2k)$?
In altri termini, avendo "ristretto" $a_n$ dapprima all'intervallo $[1;phi]$ e poi $[phi;2]$, non significa che nel primo caso si considerano i valori della sottosuccessione $a_(2k+1)$ e nel secondo caso quelli di $a_(2k)$?
Sì; il caso 1) ti dice che, partendo da $a_1 = 1$, tutti i termini di posto dispari stanno in $[1,\phi]$.
Analogamente, la 2) ti dice che, partendo da $a_2 = 2$, tutti i termini di posto pari stanno in $[\phi, 2]$.
Analogamente, la 2) ti dice che, partendo da $a_2 = 2$, tutti i termini di posto pari stanno in $[\phi, 2]$.
Perfetto. Tutto chiaro. Ti ringrazio per aver dissipato i miei dubbi!
P.S.: benvenuto nel forum!
Andrea
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