Successione definita per ricorrenza
Salve a tutti.
Ho la seguente successione definita per ricorrenza
a_1 = 1
a_(n+1) = 2(a_n) + e^(-a_n)
Tramite lo studio della funzione f(x) = 2x+e^(-x) (definita in R, ma notando che la successione è a valori positivi dalla legge di a_(n+1), la studio in [0, +∞ [ ), sono riuscita a provare che a_n è crescente in [0,+∞ [
Il limite a +∞ di f(x) = +∞, per cui +∞ potrebbe essere il limite di a_n.
In ogni caso, dalla regolarità di an, an ammette limite e coincide con il suo sup.
Ma non è detto che il sup sia +∞, potrebbe essere anche un valore finito
Allora cerco un certo L (ovvero quello che dovrebbe essere il sup ) tale che L = 2L + e^(-L)
A questo punto non so più che fare: nel senso che ho studiato la funzione g(x)= x + e^(-x) che sembra avere uno zero in un certo punto C che non so individuare precisamente, ma a lui ci arrivo dalla derivabilità --> monotonia --> estremi di g: uno positivo, l'altro negativo (teor. Darboux dei valori intermedi) =>
esiste questo C tale che g(C) =0
A questo punto: non so chi sia C, non so se la successione tende a +∞ e non so in realtà nemmeno se quello che ho fatto ha un senso oppure se ho sbagliato tutto
Potete aiutarmi?
Grazie mille a chi risponderà
Ho la seguente successione definita per ricorrenza
a_1 = 1
a_(n+1) = 2(a_n) + e^(-a_n)
Tramite lo studio della funzione f(x) = 2x+e^(-x) (definita in R, ma notando che la successione è a valori positivi dalla legge di a_(n+1), la studio in [0, +∞ [ ), sono riuscita a provare che a_n è crescente in [0,+∞ [
Il limite a +∞ di f(x) = +∞, per cui +∞ potrebbe essere il limite di a_n.
In ogni caso, dalla regolarità di an, an ammette limite e coincide con il suo sup.
Ma non è detto che il sup sia +∞, potrebbe essere anche un valore finito
Allora cerco un certo L (ovvero quello che dovrebbe essere il sup ) tale che L = 2L + e^(-L)
A questo punto non so più che fare: nel senso che ho studiato la funzione g(x)= x + e^(-x) che sembra avere uno zero in un certo punto C che non so individuare precisamente, ma a lui ci arrivo dalla derivabilità --> monotonia --> estremi di g: uno positivo, l'altro negativo (teor. Darboux dei valori intermedi) =>
esiste questo C tale che g(C) =0
A questo punto: non so chi sia C, non so se la successione tende a +∞ e non so in realtà nemmeno se quello che ho fatto ha un senso oppure se ho sbagliato tutto
Potete aiutarmi?
Grazie mille a chi risponderà
Risposte
Ciao! Va bene lo studio della monotonia di $f$ e va bene anche il discorso sull'esistenza del limite (per monotonia) che coincide con l'estremo superiore di $a_n$ in $\mathbb{N}$ (perché $a_n$ è crescente).
Tuttavia, passare al limite nella ricorrenza e scrivere $L=2L+e^{-L}$ può essere fatto solo se $L$ è un numero reale; questo perché $\infty$ o $-\infty$ sono simboli e non numeri reali, quindi non sottostanno alle regole algebriche dei numeri reali.
Detto questo, prova così: dimostra prima per induzione che per ogni $n \ge 1$ risulta $a_n>0$.
Dato che, per il teorema delle successioni monotòne, il limite esiste, detto $L$ tale limite è $L\in \mathbb{R}_{\ge 0} \cup {\infty}$ in quanto per ogni $n \ge 0$ è $a_n>0$. Quindi $L$ o è un numero reale non negativo o è $\infty$ (osserva che $L$ potrebbe essere anche nullo, perché le disuguaglianze strette vanno necessariamente trasformate in disuguaglianze strette quando si passa al limite in una disuguaglianza; per convincertene, la successione $(a_n)_n=\left(\frac{1}{n}\right)_n$ è strettamente positiva per ogni $n \ge 1$, tuttavia il suo limite è nullo. Quindi, da $a_n>0$ per ogni $n \ge 1$, puoi dedurre solamente $L\ge0$).
Infine, se per assurdo fosse $L$ finito...(prosegui tu).
Tuttavia, passare al limite nella ricorrenza e scrivere $L=2L+e^{-L}$ può essere fatto solo se $L$ è un numero reale; questo perché $\infty$ o $-\infty$ sono simboli e non numeri reali, quindi non sottostanno alle regole algebriche dei numeri reali.
Detto questo, prova così: dimostra prima per induzione che per ogni $n \ge 1$ risulta $a_n>0$.
Dato che, per il teorema delle successioni monotòne, il limite esiste, detto $L$ tale limite è $L\in \mathbb{R}_{\ge 0} \cup {\infty}$ in quanto per ogni $n \ge 0$ è $a_n>0$. Quindi $L$ o è un numero reale non negativo o è $\infty$ (osserva che $L$ potrebbe essere anche nullo, perché le disuguaglianze strette vanno necessariamente trasformate in disuguaglianze strette quando si passa al limite in una disuguaglianza; per convincertene, la successione $(a_n)_n=\left(\frac{1}{n}\right)_n$ è strettamente positiva per ogni $n \ge 1$, tuttavia il suo limite è nullo. Quindi, da $a_n>0$ per ogni $n \ge 1$, puoi dedurre solamente $L\ge0$).
Infine, se per assurdo fosse $L$ finito...(prosegui tu).
"Mephlip":
Ciao! Va bene lo studio della monotonia di $f$ e va bene anche il discorso sull'esistenza del limite (per monotonia) che coincide con l'estremo superiore di $a_n$ in $\mathbb{N}$ (perché $a_n$ è crescente).
Tuttavia, passare al limite nella ricorrenza e scrivere $L=2L+e^{-L}$ può essere fatto solo se $L$ è un numero reale; questo perché $\infty$ o $-\infty$ sono simboli e non numeri reali, quindi non sottostanno alle regole algebriche dei numeri reali.
Detto questo, prova così: dimostra prima per induzione che per ogni $n \ge 1$ risulta $a_n>0$.
Dato che, per il teorema delle successioni monotòne, il limite esiste, detto $L$ tale limite è $L\in \mathbb{R}_{\ge 0} \cup {\infty}$ in quanto per ogni $n \ge 0$ è $a_n>0$. Quindi $L$ o è un numero reale non negativo o è $\infty$ (osserva che $L$ potrebbe essere anche nullo, perché le disuguaglianze strette vanno necessariamente trasformate in disuguaglianze strette quando si passa al limite in una disuguaglianza; per convincertene, la successione $(a_n)_n=\left(\frac{1}{n}\right)_n$ è strettamente positiva per ogni $n \ge 1$, tuttavia il suo limite è nullo. Quindi, da $a_n>0$ per ogni $n \ge 1$, puoi dedurre solamente $L\ge0$).
Infine, se per assurdo fosse $L$ finito...(prosegui tu).
Se fosse finito quindi dovrebbe essere o L=0 oppure L>0
Se fosse L=0 trovo l’assurdo perché an è crescente, tende al sup ma già il primo termine è a_1 = 1 > 0 = L. Assurdo perché trovo un elemento maggiore del sup.
Se invece L>0? Qui non ci arrivo da solo (sarà sicuramente una banalità, ma non mi viene in mente nulla)
Se fosse $L$ finito, potremmo passare al limite nella ricorrenza: otterremmo $L=2L+e^{-L}$, pertanto sarebbe $e^{-L}=-L$. Ma, per induzione, si dimostra che per ogni $n \ge 1$ è $a_n>0$ e quindi è $L \ge 0$.
Per definizione di esponenziale, è $e^{-L}>0$; pertanto l'uguaglianza $e^{-L}=-L$ sarebbe contraddittoria, in quanto la quantità positiva $e^{-L}$ verrebbe eguagliata a una non negativa $-L \le 0$. La contraddizione è stata causata dall'aver assunto $L$ finito, quindi $L$ non è finito. Ma $L \in \mathbb{R}_{\ge 0} \cup \{\infty\}$, pertanto l'unica possibilità rimasta è che sia
$$\lim_{n \to \infty} a_n=\infty$$
P.S.: Una cortesia: se non devi citare una parte specifica di una risposta, usa direttamente il pulsante "risposta rapida" in basso e non il pulsante "cita". Altrimenti, si allunga inutilmente il topic. Grazie.
Per definizione di esponenziale, è $e^{-L}>0$; pertanto l'uguaglianza $e^{-L}=-L$ sarebbe contraddittoria, in quanto la quantità positiva $e^{-L}$ verrebbe eguagliata a una non negativa $-L \le 0$. La contraddizione è stata causata dall'aver assunto $L$ finito, quindi $L$ non è finito. Ma $L \in \mathbb{R}_{\ge 0} \cup \{\infty\}$, pertanto l'unica possibilità rimasta è che sia
$$\lim_{n \to \infty} a_n=\infty$$
P.S.: Una cortesia: se non devi citare una parte specifica di una risposta, usa direttamente il pulsante "risposta rapida" in basso e non il pulsante "cita". Altrimenti, si allunga inutilmente il topic. Grazie.
E' chiarissimo! Grazie mille davvero!
P.s. ok!
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